Algebra Beispiele

$x + 3 = \sqrt{- 20 + 12 x + 3}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{- 20 + 12 x + 3} = x + 3$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- 20 + 12 x + 3}}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 20 + 12 x + 3}$ als ${(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 20 + 12 x + 3)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $- 20$ und $3$ .

${(12 x - 17)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

$12 x - 17 = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(x + 3)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$12 x - 17 = (x + 3) (x + 3)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x - 17 = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x - 17 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x - 17 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$12 x - 17 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$12 x - 17 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$12 x - 17 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$12 x - 17 = x^{2} + 6 x + 9$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 6 x + 9 = 12 x - 17$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x + 9 - 12 x = - 17$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $12 x$ von $6 x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - 17$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Addiere $17$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + 9 + 17 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $9$ und $17$ .

$x^{2} - 6 x + 26 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = 26$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 26)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $26$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 104}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.3

Subtrahiere $104$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $- 68$ als $- 1 (68)$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (68)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.7

Schreibe $68$ als $2^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 4.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $68$ heraus.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (2 \sqrt{17})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{6 \pm 2 i \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 i \sqrt{17}}{2}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 i \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 3 \pm i \sqrt{17}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + i \sqrt{17}, 3 - i \sqrt{17}$