Algebra Beispiele

$x^{4} + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} + 3 x^{3} - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) - 4 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 4 - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x)$ heraus.

$x^{2} (x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 4 - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 4$ heraus.

$x^{2} (x^{2} + 3 x - 4) - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x^{2} ((x - 1) (x + 4)) - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 4

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x^{2} - 48 x + 64$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2}) - 48 x + 64$

Schritt 4.2

Faktorisiere $16$ aus $- 48 x$ heraus.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2}) + 16 (- 3 x) + 64$

Schritt 4.3

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2}) + 16 (- 3 x) + 16 (4)$

Schritt 4.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (- x^{2}) + 16 (- 3 x)$ heraus.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} - 3 x) + 16 (4)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $16$ aus $16 (- x^{2} - 3 x) + 16 (4)$ heraus.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} - 3 x + 4)$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} - 3 (x) + 4)$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} + (1 - 4) x + 4)$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} + 1 x - 4 x + 4)$

Schritt 5.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} + x - 4 x + 4)$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 ((- x^{2} + x) - 4 x + 4)$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (x (- x + 1) + 4 (- x + 1))$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 ((- x + 1) (x + 4))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x + 1) (x + 4)$

Schritt 6

Faktorisiere $x + 4$ aus $x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x + 1) (x + 4)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $x^{2} (x - 1) (x + 4)$ heraus.

$(x + 4) (x^{2} (x - 1)) + 16 (- x + 1) (x + 4)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x + 4$ aus $16 (- x + 1) (x + 4)$ heraus.

$(x + 4) (x^{2} (x - 1)) + (x + 4) (16 (- x + 1))$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x + 4) (x^{2} (x - 1)) + (x + 4) (16 (- x + 1))$ heraus.

$(x + 4) (x^{2} (x - 1) + 16 (- x + 1))$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 4) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 16 (- x + 1))$

Schritt 8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 4) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + 16 (- x + 1))$

Schritt 8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 4) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 16 (- x + 1))$

Schritt 8.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 4) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 16 (- x + 1))$

Schritt 9

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x + 4) (x^{3} - 1 x^{2} + 16 (- x + 1))$

Schritt 10

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$(x + 4) (x^{3} - x^{2} + 16 (- x + 1))$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 4) (x^{3} - x^{2} + 16 (- x) + 16 \cdot 1)$

Schritt 12

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$(x + 4) (x^{3} - x^{2} - 16 x + 16 \cdot 1)$

Schritt 13

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$(x + 4) (x^{3} - x^{2} - 16 x + 16)$

Schritt 14

Faktorisiere.

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Schritt 14.1

Schreibe $x^{3} - x^{2} - 16 x + 16$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 14.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 14.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 4) ((x^{3} - x^{2}) - 16 x + 16)$

Schritt 14.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 4) (x^{2} (x - 1) - 16 (x - 1))$

Schritt 14.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x + 4) ((x - 1) (x^{2} - 16))$

Schritt 14.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x + 4) ((x - 1) (x^{2} - 4^{2}))$

Schritt 14.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 14.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(x + 4) ((x - 1) ((x + 4) (x - 4)))$

Schritt 14.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 4) ((x - 1) (x + 4) (x - 4))$

Schritt 14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 4) (x - 1) (x + 4) (x - 4)$

Schritt 15

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 15.1

Potenziere $x + 4$ mit $1$ .

${(x + 4)}^{1} (x + 4) (x - 1) (x - 4)$

Schritt 15.2

Potenziere $x + 4$ mit $1$ .

${(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1} (x - 1) (x - 4)$

Schritt 15.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 4)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4)$

Schritt 15.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 4)}^{2} (x - 1) (x - 4)$