Algebra Beispiele

$\tan (\frac{π}{12}) = \cot (x - \frac{π}{36})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$ um.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$

Schritt 2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{12})$ ist $2 - \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.7

Vereinfache $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Schritt 2.7.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 2.7.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.7.1.2

Kombinieren.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1$ heraus.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 2.7.6

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 2.7.7

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Schritt 2.7.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.7.9

Vereinfache.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.10.1

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.10.2

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 2.7.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 2.7.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 2.7.11

Schreibe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ um.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.12

Multipliziere $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.7.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.13.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.13.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 2.7.13.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.7.13.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.13.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 2.7.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.13.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 3 \sqrt{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 - 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 2.7.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.14.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 \sqrt{3}$ heraus.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 2.7.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 2.7.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 2.7.14.4.4

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 2 - \sqrt{3}$

Schritt 3

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 0.26794919$

Schritt 4

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x - \frac{π}{36} = arccot (0.26794919)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $arccot (0.26794919)$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{5 π}{12}$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Addiere $\frac{π}{36}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π}{36}$

Schritt 6.2

Um $\frac{5 π}{12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Schritt 6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{12}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{36}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x = \frac{15 π + π}{36}$

Schritt 6.5.2

Addiere $15 π$ und $π$ .

$x = \frac{16 π}{36}$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $36$ .

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $4$ aus $16 π$ heraus.

$x = \frac{4 (4 π)}{36}$

Schritt 6.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$x = \frac{4 (4 π)}{4 (9)}$

Schritt 6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 9}$

Schritt 6.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4 π}{9}$

Schritt 7

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x - \frac{π}{36} = π + \frac{5 π}{12}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $π + \frac{5 π}{12}$ .

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Schritt 8.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = π \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Schritt 8.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12 + 5 π}{12}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.3.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{12 \cdot π + 5 π}{12}$

Schritt 8.1.3.2

Addiere $12 π$ und $5 π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{17 π}{12}$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Addiere $\frac{π}{36}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{17 π}{12} + \frac{π}{36}$

Schritt 8.2.2

Um $\frac{17 π}{12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Schritt 8.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{17 π}{12}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Schritt 8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{17 π \cdot 3 + π}{36}$

Schritt 8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $17$ .

$x = \frac{51 π + π}{36}$

Schritt 8.2.5.2

Addiere $51 π$ und $π$ .

$x = \frac{52 π}{36}$

Schritt 8.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $52$ und $36$ .

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Schritt 8.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $52 π$ heraus.

$x = \frac{4 (13 π)}{36}$

Schritt 8.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$x = \frac{4 (13 π)}{4 (9)}$

Schritt 8.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 (13 π)}{4 \cdot 9}$

Schritt 8.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{13 π}{9}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cot (x - \frac{π}{36})$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cot (x - \frac{π}{36})$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π}{9} + π n, \frac{13 π}{9} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{4 π}{9} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$