Algebra Beispiele

$\frac{5 x - 10}{8 - x} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$5 x - 10 = 0$

$8 - x = 0$

Schritt 2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 10$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 10$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 10$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $10$ durch $5$ .

$x = 2$

Schritt 4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 8$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x = 8$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 2$

$x = 8$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 2, 8$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{5 x - 10}{8 - x}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{5 x - 10}{8 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$8 - x = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 8$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 8.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x = 8$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (0) - 10}{8 - (0)} \geq 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 1.25$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (5) - 10}{8 - (5)} \geq 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (10) - 10}{8 - (10)} \geq 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 \leq x < 8$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$2 \leq x < 8$

Intervallschreibweise:

$[2, 8)$

Schritt 13