Algebra Beispiele

$- 3 x^{2} + 3 x + 4 \leq - 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 3 x^{2} + 3 x + 4 = - 2$

Schritt 2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} + 3 x + 4 + 2 = 0$

Schritt 3

Addiere $4$ und $2$ .

$- 3 x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{2} + 3 x + 6$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- 3 x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $3 x$ heraus.

$- 3 x^{2} - 3 (- x) + 6 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $6$ heraus.

$- 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2}) - 3 (- x)$ heraus.

$- 3 (x^{2} - x) - 3 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2} - x) - 3 (- 2)$ heraus.

$- 3 (x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 3 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + 4 \leq - 2$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 56$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 3 {(0)}^{2} + 3 (0) + 4 \leq - 2$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 3 {(4)}^{2} + 3 (4) + 4 \leq - 2$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 32$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 1$ oder $x \geq 2$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 1 or x \geq 2$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1] \cup [2, \infty)$

Schritt 13