Algebra Beispiele

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} \leq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{2}) - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- 20 x^{3}$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) + 7 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x)$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} (- 7)$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x - 7) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ und deren Summe gleich $b = 20$ ist.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $20$ aus $20 x$ heraus.

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 (x) - 7) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $20$ um als $- 1$ plus $21$

$- x^{2} (3 x^{2} + (- 1 + 21) x - 7) = 0$

Schritt 2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} (3 x^{2} - 1 x + 21 x - 7) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) + 21 x - 7) = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x^{2} (x (3 x - 1) + 7 (3 x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$- x^{2} ((3 x - 1) (x + 7)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{3}, - 7$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 3 {(- 10)}^{4} - 20 {(- 10)}^{3} + 7 {(- 10)}^{2} \leq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 9300$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 3 {(- 4)}^{4} - 20 {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} \leq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $624$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.17$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $0.17$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 3 {(0.17)}^{4} - 20 {(0.17)}^{3} + 7 {(0.17)}^{2} \leq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $0.10153437$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 3 {(3)}^{4} - 20 {(3)}^{3} + 7 {(3)}^{2} \leq 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $- 720$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Wahr

$- 7 < x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{3}$ Falsch

$x > \frac{1}{3}$ Wahr

$x < - 7$ Wahr

$- 7 < x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{3}$ Falsch

$x > \frac{1}{3}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 7$ oder $x \geq \frac{1}{3}$ oder $x = 0$

Schritt 11

Vereine die Intervalle.

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 7] \cup [0, 0] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

Schritt 13