Algebra Beispiele

$x - \frac{1}{x} = 5$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $x - \frac{1}{x} = 5$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $x - \frac{1}{x} = 5$ mit $x$ .

$x \cdot x - \frac{1}{x} x = 5 x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - \frac{1}{x} x = 5 x$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 5 x$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 5 x$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 1 = 5 x$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 1 - 5 x = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 5$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $25$ und $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}, \frac{5 - \sqrt{29}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}, \frac{5 - \sqrt{29}}{2}$

Dezimalform:

$x = 5.19258240 \dots, - 0.19258240 \dots$