Algebra Beispiele

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{7}{2} x$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$x^{2} - 2 < 0 + 0 + \frac{7}{2} x$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x$ .

$x^{2} - 2 < \frac{7 x}{2}$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{7 x}{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 2 - \frac{7 x}{2} < 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 x}{2}$ in den Zähler.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 4 - 7 x < 0$

Schritt 3.3

Bewege $- 4$ .

$2 x^{2} - 7 x - 4 < 0$

Schritt 4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} - 7 x - 4 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 7$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.3

Addiere $49$ und $32$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{7 \pm 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 4, - \frac{1}{2}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (- 3)$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $7$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 10.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (0)$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (6)$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $34$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $21$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{1}{2}, 4)$

Schritt 13