Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{- 3 x^{2} + 21 x - 36}{5 x - 20}$

Schritt 1

Schreibe die Funktion als Gleichung um.

$y = - \frac{3 (x - 3)}{5}$

Schritt 2

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.2

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3 x + 3 \cdot - 3}{5}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$y = - \frac{3 x - 9}{5}$

Schritt 2.2.3

Zerlege den Bruch $\frac{3 x - 9}{5}$ in zwei Brüche.

$y = - (\frac{3 x}{5} + \frac{- 9}{5})$

Schritt 2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5})$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{3 x - 9}{5}$

Schritt 2.2.6

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 9$ heraus.

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$y = - \frac{3 (x) - 9}{5}$

Schritt 2.2.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$y = - \frac{3 x + 3 \cdot - 3}{5}$

Schritt 2.2.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 3$ heraus.

$y = - \frac{3 (x - 3)}{5}$

Schritt 2.2.7

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{5} (x - 3))$

Schritt 2.2.8

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{5} (x - 3)$

Schritt 3

Benutze die Normalform, um die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Ermittle die Werte von $m$ und $b$ unter Anwendung der Form $y = m x + b$ .

$m = - \frac{3}{5}$

$b = 0$

Schritt 3.2

Die Steigung der Geraden ist der Wert von $m$ und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Wert von $b$ .

Steigung: $- \frac{3}{5}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, 0)$

Steigung: $- \frac{3}{5}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4

Jede Gerade kann mittels zweier Punkte gezeichnet werden. Wähle zwei $x$ -Werte und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu finden.

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Schritt 4.1

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3 x + 3 \cdot - 3}{5}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$y = - \frac{3 x - 9}{5}$

Schritt 4.1.3

Zerlege den Bruch $\frac{3 x - 9}{5}$ in zwei Brüche.

$y = - (\frac{3 x}{5} + \frac{- 9}{5})$

Schritt 4.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5})$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{3 x - 9}{5}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 9$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$y = - \frac{3 (x) - 9}{5}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$y = - \frac{3 x + 3 \cdot - 3}{5}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 3$ heraus.

$y = - \frac{3 (x - 3)}{5}$

Schritt 4.1.7

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{5} (x - 3))$

Schritt 4.1.8

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{5} (x - 3)$

Schritt 4.2

Finde den Schnittpunkt mit der x-Achse.

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Schritt 4.2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{3}{5} \cdot (x - 3)$

Schritt 4.2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3}{5} \cdot (x - 3) = 0$ um.

$- \frac{3}{5} \cdot (x - 3) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3} (- \frac{3}{5} \cdot (x - 3)) = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1.1

Vereinfache $- \frac{5}{3} (- \frac{3}{5} \cdot (x - 3))$ .

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Schritt 4.2.2.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{5}{3} (- \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 3) = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{5}$ .

$- \frac{5}{3} (- \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 3) = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.3

Multipliziere $- \frac{3}{5} \cdot - 3$ .

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Schritt 4.2.2.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- \frac{5}{3} (- \frac{x \cdot 3}{5} + 3 (\frac{3}{5})) = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{5}$ .

$- \frac{5}{3} (- \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{3 \cdot 3}{5}) = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{5}{3} (- \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{9}{5}) = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{5}{3} (- \frac{3 x}{5} + \frac{9}{5}) = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.2.3.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{5}{3} (- \frac{3 x}{5}) - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.3.1.1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{3} (- \frac{3 x}{5}) - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{3} \cdot \frac{- 3 x}{5} - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.2.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{5} - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{5} - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- 3 x) - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.3.1.1.5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x)) - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x)) - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- - x - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.4

Multipliziere.

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Schritt 4.2.2.3.1.1.5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x - \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.3.1.1.5.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{3}$ in den Zähler.

$x + \frac{- 5}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.5.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$x + \frac{5 (- 1)}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{5 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{9}{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.5.4

Forme den Ausdruck um.

$x + \frac{- 1}{3} \cdot 9 = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.3.1.1.5.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (3)) = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 \cdot 3 = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.1.1.5.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x - 3 = - \frac{5}{3} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.2.1

Multipliziere $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$x - 3 = 0 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.2.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{3}$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0)$

Schritt 4.3

Finde den Schnittpunkt mit der y-Achse.

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Schritt 4.3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{3}{5} \cdot ((0) - 3)$

Schritt 4.3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{5} \cdot (0 - 3)$

Schritt 4.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{5} \cdot ((0) - 3)$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache $- \frac{3}{5} \cdot ((0) - 3)$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = - \frac{3}{5} \cdot - 3$

Schritt 4.3.2.3.2

Multipliziere $- \frac{3}{5} \cdot - 3$ .

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Schritt 4.3.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = 3 (\frac{3}{5})$

Schritt 4.3.2.3.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3 \cdot 3}{5}$

Schritt 4.3.2.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{9}{5}$

Schritt 4.3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{9}{5})$

Schritt 4.4

Erstelle eine Tabelle mit den $x$ - und $y$ -Werten.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{9}{5} \\ 3 & 0 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Gerade mittels der Steigung und der y-Achsenabschnitte oder der Punkte.

Steigung: $- \frac{3}{5}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{9}{5} \\ 3 & 0 \end{array}$

Schritt 6