Algebra Beispiele

$\frac{2 + \sqrt{- 8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Schritt 1

Ziehe die imaginäre Einheit $i$ heraus.

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Schritt 1.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{2 + \sqrt{- 1 (8)}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$\frac{2 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Schritt 1.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Schritt 1.4

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1 (2)}}$

Schritt 1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1.41421356 \cdot i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1.41421356 \cdot i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1.41421356 \cdot i} \cdot \frac{1 - 1.41421356 i}{1 - 1.41421356 i}$

Schritt 3

Multipliziere.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{8}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{4 (2)}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{(2 + i \cdot (2 \sqrt{2})) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - 1.41421356 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (1 - 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1.41421356$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4

Multipliziere $2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)$ .

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Schritt 3.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1.41421356$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 2.82842712 i \sqrt{2} i}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $- 2.82842712$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 i i}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 (i^{1} i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 (i^{1} i^{1})}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 i^{1 + 1}}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 i^{2}}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 \cdot - 1}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} + 4}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 (1 - 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i (1 - 1.41421356 i)}$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i \cdot 1 + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1 (- 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i \cdot 1 + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1.41421356$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i \cdot 1 + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $1.41421356$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1.41421356$ mit $1.41421356$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot i i}$

Schritt 3.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot (i^{1} i)}$

Schritt 3.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot (i^{1} i^{1})}$

Schritt 3.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot i^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot i^{2}}$

Schritt 3.3.2.9

Addiere $- 1.41421356 i$ und $1.41421356 \cdot i$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 i - 2 \cdot i^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $i$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - 2 \cdot i^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - 2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 + 2}$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 2}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 4

Schreibe $6$ als $1 (6)$ um.

$\frac{1 (6) - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 5

Faktorisiere $1$ aus $- 2.82842712 i$ heraus.

$\frac{1 (6) + 1 (- 2.82842712 i) + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 6

Faktorisiere $1$ aus $1 (6) + 1 (- 2.82842712 i)$ heraus.

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i) + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 7

Faktorisiere $1$ aus $2 i \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i) + 1 (2 i \sqrt{2})}{3}$

Schritt 8

Faktorisiere $1$ aus $1 (6 - 2.82842712 i) + 1 (2 i \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2})}{3}$

Schritt 9

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2})}{3 (1)}$

Schritt 10

Separiere Brüche.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1}$

Schritt 11

Dividiere $1$ durch $3$ .

$0.33333333 \frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1}$

Schritt 12

Dividiere $6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}$ durch $1$ .

$0.33333333 (6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2})$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$0.33333333 \cdot 6 + 0.33333333 (- 2.82842712 i) + 0.33333333 (2 i \sqrt{2})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $0.33333333$ mit $6$ .

$2 + 0.33333333 (- 2.82842712 i) + 0.33333333 (2 i \sqrt{2})$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $- 2.82842712$ mit $0.33333333$ .

$2 - 0.94280904 i + 0.33333333 (2 i \sqrt{2})$

Schritt 14.3

Multipliziere $0.33333333 (2 i \sqrt{2})$ .

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.33333333$ .

$2 - 0.94280904 i + 0.66666666 (i \sqrt{2})$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $0.66666666$ .

$2 - 0.94280904 i + 0.94280904 i$

Schritt 15

Addiere $- 0.94280904 i$ und $0.94280904 i$ .

$2 + 0 i$

Schritt 16

Mutltipliziere $0$ mit $i$ .

$2 + 0$

Schritt 17

Addiere $2$ und $0$ .

$2$