Algebra Beispiele

$x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- 5 x^{3} + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

Schritt 2

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $- 5 x^{3} + 5 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$- 5 x^{2} (x) + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1) + x^{4} + 5 x - 6$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 5 x^{2}$ aus $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1)$ heraus.

$- 5 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 5 x - 6$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{4} + 5 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 3.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{4} + 5 \cdot 1 - 6$

Schritt 3.3.2

Potenziere $1$ mit $4$ .

$1 + 5 \cdot 1 - 6$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 - 6$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $5$ .

$6 - 6$

Schritt 3.3.5

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 3.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 5 x - 6}{x - 1}$

Schritt 3.5

Dividiere $x^{4} + 5 x - 6$ durch $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Schritt 3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Schritt 3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

Schritt 3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

Schritt 3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

Schritt 3.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

Schritt 3.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

Schritt 3.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Schritt 3.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x - 6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Schritt 3.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

$0$

Schritt 3.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + x^{2} + x + 6$

Schritt 3.6

Schreibe $x^{4} + 5 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 6)$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{3} + x^{2} + x + 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{3} + x^{2} + x + 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 4.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

Schritt 4.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

Schritt 4.1.3.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 + 4 - 2 + 6$

Schritt 4.1.3.4

Addiere $- 8$ und $4$ .

$- 4 - 2 + 6$

Schritt 4.1.3.5

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$- 6 + 6$

Schritt 4.1.3.6

Addiere $- 6$ und $6$ .

$0$

Schritt 4.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 6}{x + 2}$

Schritt 4.1.5

Dividiere $x^{3} + x^{2} + x + 6$ durch $x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Schritt 4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

Schritt 4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Schritt 4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Schritt 4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Schritt 4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x + 6$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Schritt 4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$
										$0$

Schritt 4.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x + 3$

Schritt 4.1.6

Schreibe $x^{3} + x^{2} + x + 6$ als eine Menge von Faktoren.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

Schritt 5

Faktorisiere $x - 1$ aus $- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $- 5 x^{2} (x - 1)$ heraus.

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ heraus.

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$ heraus.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + (x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Schritt 6

Multipliziere $(x + 2) (x^{2} - x + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Schritt 7.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Schritt 7.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Schritt 7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Schritt 7.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Bewege $x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Schritt 7.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 3)$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 6)$

Schritt 8

Addiere $- x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + 3 x - 2 x + 6)$

Schritt 9

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 6)$

Schritt 10

Addiere $- 5 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} + x + 6)$

Schritt 11

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Schreibe $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 11.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 11.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Schritt 11.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Schritt 11.1.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6$

Schritt 11.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 1 - 4 - 1 + 6$

Schritt 11.1.1.3.5

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$- 5 - 1 + 6$

Schritt 11.1.1.3.6

Subtrahiere $1$ von $- 5$ .

$- 6 + 6$

Schritt 11.1.1.3.7

Addiere $- 6$ und $6$ .

$0$

Schritt 11.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}{x + 1}$

Schritt 11.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ durch $x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 11.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Schritt 11.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 11.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 11.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 11.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Schritt 11.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Schritt 11.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 11.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 11.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Schritt 11.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 11.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 11.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 11.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x + 6$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 11.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

Schritt 11.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 5 x + 6$

Schritt 11.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 5 x + 6))$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 11.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 3) (x - 2)))$

Schritt 11.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 3) (x - 2))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x - 2)$