Algebra Beispiele

$\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} (\cos^{2} (θ) - 1)$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $1$ aus $\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$1 \tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1)$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $1$ aus $\frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1)$ heraus.

$1 \tan^{2} (θ) + 1 (\frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1))$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 \tan^{2} (θ) + 1 (\frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1))$ heraus.

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1))$

Schritt 1.2

Stelle $\cos^{2} (θ)$ und $- 1$ um.

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 + \cos^{2} (θ)))$

Schritt 1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 (1) + \cos^{2} (θ)))$

Schritt 1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (θ)$ heraus.

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))))$

Schritt 1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ heraus.

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 (1 - \cos^{2} (θ))))$

Schritt 1.6

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ als $- (1 - \cos^{2} (θ))$ um.

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- (1 - \cos^{2} (θ))))$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ)))$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$ mit $1$ .

$\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{25}$ und $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\sin^{2} (θ)}{25}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ als ${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2}$ um.

${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (θ)}{25}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\sin^{2} (θ)}{25}$ als ${(\frac{\sin (θ)}{5})}^{2}$ um.

${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - {(\frac{\sin (θ)}{5})}^{2}$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ und $b = \frac{\sin (θ)}{5}$ .

$(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{5}) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 7

Wandle von $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ nach $\tan (θ)$ um.

$(\tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5}) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 8

Wandle von $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ nach $\tan (θ)$ um.

$(\tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5}) (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 9

Multipliziere $(\tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5}) (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (θ) (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (θ) \tan (θ) + \tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (θ) \tan (θ) + \tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan (θ) \tan (θ) + \tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5})$ und $\frac{\sin (θ)}{5} \tan (θ)$ neu an.

$\tan (θ) \tan (θ) - \tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5} + \tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5} + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 10.1.2

Addiere $- \tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5}$ und $\tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5}$ .

$\tan (θ) \tan (θ) + 0 + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 10.1.3

Addiere $\tan (θ) \tan (θ)$ und $0$ .

$\tan (θ) \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Multipliziere $\tan (θ) \tan (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1.1

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 10.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\tan (θ)}^{1 + 1} + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 10.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Schritt 10.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin (θ)}{5} \cdot \frac{\sin (θ)}{5}$

Schritt 10.2.3

Multipliziere $- \frac{\sin (θ)}{5} \cdot \frac{\sin (θ)}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (θ)}{5}$ mit $\frac{\sin (θ)}{5}$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{5 \cdot 5}$

Schritt 10.2.3.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{5 \cdot 5}$

Schritt 10.2.3.3

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{5 \cdot 5}$

Schritt 10.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{2} (θ) - \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Schritt 10.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{2} (θ)}{5 \cdot 5}$

Schritt 10.2.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{2} (θ)}{25}$