Algebra Beispiele

$54 x^{3} + 250 y^{3}$

Schritt 1

Klammere den ggT $2$ aus $54 x^{3} + 250 y^{3}$ aus.

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Schritt 1.1

Klammere den ggT $2$ aus jedem Term des Polynoms aus.

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Schritt 1.1.1

Klammere den ggT $2$ aus dem Ausdruck $54 x^{3}$ aus.

$2 (27 x^{3}) + 250 y^{3}$

Schritt 1.1.2

Klammere den ggT $2$ aus dem Ausdruck $250 y^{3}$ aus.

$2 (27 x^{3}) + 2 (125 y^{3})$

Schritt 1.2

Da alle Terme einen gemeinsamen Faktor $2$ besitzen, kann dieser aus jedem Term herausfaktorisiert werden.

$2 (27 x^{3} + 125 y^{3})$

Schritt 2

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

$2 ({(3 x)}^{3} + 125 y^{3})$

Schritt 3

Schreibe $125 y^{3}$ als ${(5 y)}^{3}$ um.

$2 ({(3 x)}^{3} + {(5 y)}^{3})$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 5 y$ .

$2 ((3 x + 5 y) ({(3 x)}^{2} - 3 x (5 y) + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$2 ((3 x + 5 y) (3^{2} x^{2} - 3 x (5 y) + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 ((3 x + 5 y) (9 x^{2} - 3 x (5 y) + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 ((3 x + 5 y) (9 x^{2} - 3 x (5 y) + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 ((3 x + 5 y) (9 x^{2} - 3 \cdot (5 x y) + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$2 ((3 x + 5 y) (9 x^{2} - 15 x y + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.6

Wende die Produktregel auf $5 y$ an.

$2 ((3 x + 5 y) (9 x^{2} - 15 x y + 5^{2} y^{2}))$

Schritt 5.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$2 ((3 x + 5 y) (9 x^{2} - 15 x y + 25 y^{2}))$