Algebra Beispiele

$y^{3} + 4 y - 3 y^{2} - 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$y^{3} - 3 y^{2} + 4 y - 12 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(y^{3} - 3 y^{2}) + 4 y - 12 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y^{2} (y - 3) + 4 (y - 3) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 3$ .

$(y - 3) (y^{2} + 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

$y^{2} + 4 = 0$

Schritt 3

Setze $y - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

Schritt 4

Setze $y^{2} + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $y^{2} + 4$ gleich $0$ .

$y^{2} + 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $y^{2} + 4 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = - 4$

Schritt 4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm i \cdot 2$

Schritt 4.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \pm 2 i$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 2 i$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 2 i$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 2 i, - 2 i$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 3) (y^{2} + 4) = 0$ wahr machen.

$y = 3, 2 i, - 2 i$