Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{1 - y^{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$ um.

$\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{1 - y^{3}}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{1 - y^{3}}$ als ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$1 - y^{3} = x^{3}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} = x^{3} - 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = x^{3} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = x^{3} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{3}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$y^{3} = - x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y^{3} = - x^{3} + 1$

Schritt 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 1}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- x^{3} + 1}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.4.1.1

Schreibe $- x^{3}$ als ${(- x)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1}$

Schritt 3.4.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1^{3}}$

Schritt 3.4.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = - x$ und $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.3.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 3.4.4.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache.

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Schritt 5.2.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.6

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.7

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache.

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Schritt 5.2.8.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.9

Schreibe ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.10.1

Wende die Produktregel auf $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.10.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1)}$

Schritt 5.2.11

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Schritt 5.2.12

Vereinfache.

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Schritt 5.2.12.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Schritt 5.2.12.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1)}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1 - {(\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})}^{3}}$

Schritt 5.3.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1^{3} - {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{3}}$

Schritt 5.3.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Schritt 5.3.5.2

Mutltipliziere $\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ mit $1$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Schritt 5.3.5.3

Schreibe ${\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}}$ um.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}})}$

Schritt 5.3.5.4

Wende die Produktregel auf $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ an.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{(- x + 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}})}$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$