Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x - 8}{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 (x) - 8}{4 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $2$ um als $- 4$ plus $6$

$f (x) = \frac{3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8}{4 - x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = \frac{(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = \frac{x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4)}{4 - x^{2}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 4$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{4 - x^{2}}$

Schritt 2

Faktorisiere $4 - x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{2^{2} - x^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2$ und $2 + x$ .

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{3 x - 4}{2 - x}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$2 + x$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ .

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Schritt 5.1

Setze $2 + x$ gleich $0$ .

$2 + x = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.3

Setze $- 2$ für $x$ in $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Setze $- 2$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - - 2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \cdot - 2 - 4$ und $2 - - 2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot - 1) - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) - 2 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) + 2 (- - 1)}$

Schritt 5.3.2.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- - 1)$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Schritt 5.3.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Schritt 5.3.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot - 1 - 2}{1 - - 1}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 - 2}{1 - - 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$\frac{- 5}{1 - - 1}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5}{1 + 1}$

Schritt 5.3.2.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 5}{2}$

Schritt 5.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2}$

Schritt 5.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(- 2, - \frac{5}{2})$

Schritt 6