Algebra Beispiele

$3 y - y^{2} = x^{2}$

Schritt 1

Da $x = r \cos (θ)$ ist, ersetze $x$ durch $r \cos (θ)$ .

$3 y - y^{2} = {(r \cos (θ))}^{2}$

Schritt 2

Da $y = r \sin (θ)$ ist, ersetze $y$ durch $r \sin (θ)$ .

$3 (r \sin (θ)) - {(r \sin (θ))}^{2} = {(r \cos (θ))}^{2}$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere ${(r \cos (θ))}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 (r \sin (θ)) - {(r \sin (θ))}^{2} - {(r \cos (θ))}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $r \sin (θ)$ an.

$3 r \sin (θ) - (r^{2} \sin^{2} (θ)) - {(r \cos (θ))}^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $r \cos (θ)$ an.

$3 r \sin (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) - r^{2} \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $- r^{2}$ aus $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ heraus.

$3 r \sin (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) - r^{2} \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 3.2.1.2.2

Faktorisiere $- r^{2}$ aus $- r^{2} \cos^{2} (θ)$ heraus.

$3 r \sin (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) - r^{2} \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 3.2.1.2.3

Faktorisiere $- r^{2}$ aus $- r^{2} (\sin^{2} (θ)) - r^{2} (\cos^{2} (θ))$ heraus.

$3 r \sin (θ) - r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) = 0$

Schritt 3.2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$3 r \sin (θ) - r^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 r \sin (θ) - r^{2} = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $r$ aus $3 r \sin (θ) - r^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $r$ aus $3 r \sin (θ)$ heraus.

$r (3 \sin (θ)) - r^{2} = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $r$ aus $- r^{2}$ heraus.

$r (3 \sin (θ)) + r (- r) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $r$ aus $r (3 \sin (θ)) + r (- r)$ heraus.

$r (3 \sin (θ) - r) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r = 0$

$3 \sin (θ) - r = 0$

Schritt 3.5

Setze $r$ gleich $0$ .

$r = 0$

Schritt 3.6

Setze $3 \sin (θ) - r$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $3 \sin (θ) - r$ gleich $0$ .

$3 \sin (θ) - r = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $3 \sin (θ) - r = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $3 \sin (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- r = - 3 \sin (θ)$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- r = - 3 \sin (θ)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- r = - 3 \sin (θ)$ durch $- 1$ .

$\frac{- r}{- 1} = \frac{- 3 \sin (θ)}{- 1}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{r}{1} = \frac{- 3 \sin (θ)}{- 1}$

Schritt 3.6.2.2.2.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{- 3 \sin (θ)}{- 1}$

Schritt 3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3 \sin (θ)}{- 1}$ .

$r = - 1 \cdot (- 3 \sin (θ))$

Schritt 3.6.2.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (- 3 \sin (θ))$ als $- (- 3 \sin (θ))$ um.

$r = - (- 3 \sin (θ))$

Schritt 3.6.2.2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$r = 3 \sin (θ)$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $r (3 \sin (θ) - r) = 0$ wahr machen.

$r = 0$

$r = 3 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 3 \sin (θ)$