Algebra Beispiele

$\frac{{(x - 5)}^{2} (x + 3)}{x - 6} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

${(x - 5)}^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 2

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 5$

$x = - 3$

$x = 6$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 5, - 3, 6$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{{(x - 5)}^{2} (x + 3)}{x - 6}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{{(x - 5)}^{2} (x + 3)}{x - 6}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 6 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 5$

$5 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((- 6) - 5)}^{2} ((- 6) + 3)}{(- 6) - 6} \geq 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $30.25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((0) - 5)}^{2} ((0) + 3)}{(0) - 6} \geq 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 12.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $5 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $5 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5.5$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $5.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((5.5) - 5)}^{2} ((5.5) + 3)}{(5.5) - 6} \geq 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 4.25$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((8) - 5)}^{2} ((8) + 3)}{(8) - 6} \geq 0$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $49.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 5$ Falsch

$5 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 5$ Falsch

$5 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $x > 6$ oder $x = 5$

Schritt 12

Vereine die Intervalle.

$x \leq - 3 or x = 5 or x > 6$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 3 or x = 5 or x > 6$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3] \cup [5, 5] \cup (6, \infty)$

Schritt 14