Algebra Beispiele

$x^{2} = 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $12 {(y + \frac{5}{2})}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(y + \frac{5}{2})}^{2}$ als $(y + \frac{5}{2}) (y + \frac{5}{2})$ um.

$x^{2} - 12 ((y + \frac{5}{2}) (y + \frac{5}{2})) = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(y + \frac{5}{2}) (y + \frac{5}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 12 (y (y + \frac{5}{2}) + \frac{5}{2} (y + \frac{5}{2})) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 12 (y \cdot y + y \frac{5}{2} + \frac{5}{2} (y + \frac{5}{2})) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 12 (y \cdot y + y \frac{5}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + y \frac{5}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Kombiniere $y$ und $\frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{y \cdot 5}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 \cdot y}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.1.4

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $y$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.1.5

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 2}) = 0$

Schritt 1.2.3.1.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{2 \cdot 2}) = 0$

Schritt 1.2.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4}) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $\frac{5 y}{2}$ und $\frac{5 y}{2}$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + 2 \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4}) = 0$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 12 (y^{2} + 2 \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4}) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 12 (y^{2} + 5 y + \frac{25}{4}) = 0$

Schritt 1.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 12 y^{2} - 12 (5 y) - 12 (\frac{25}{4}) = 0$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 12$ .

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y - 12 (\frac{25}{4}) = 0$

Schritt 1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y + 4 (- 3) \frac{25}{4} = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y + 4 \cdot - 3 \frac{25}{4} = 0$

Schritt 1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y - 3 \cdot 25 = 0$

Schritt 1.2.6.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $25$ .

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y - 75 = 0$

Schritt 2

Addiere $75$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y = 75$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 12 y^{2} - 60 y$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 12$

$b = - 60$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 60}{2 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 60$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 (- 12)}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 \cdot - 12}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 30}{- 12}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $- 12$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 30$ heraus.

$d = \frac{- 6 (5)}{- 12}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{- 6 \cdot 5}{- 6 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 6 \cdot 5}{- 6 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 60)}^{2}}{4 \cdot - 12}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 60$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{3600}{4 \cdot - 12}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$e = 0 - \frac{3600}{- 48}$

Schritt 3.4.2.1.3

Dividiere $3600$ durch $- 48$ .

$e = 0 - - 75$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 75$ .

$e = 0 + 75$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $0$ und $75$ .

$e = 75$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75$ ein.

$- 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75$

Schritt 4

Setze $- 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75$ für $- 12 y^{2} - 60 y$ ein in der Gleichung $x^{2} - 12 y^{2} - 60 y = 75$ .

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75 = 75$

Schritt 5

Bringe $75$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $75$ auf beiden Seiten.

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 75 - 75$

Schritt 6

Subtrahiere $75$ von $75$ .

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 0$

Schritt 7

Teile jeden Term durch $0$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{x^{2}}{0} - \frac{12 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{0} = \frac{0}{0}$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$x^{2} - {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 1$