Algebra Beispiele

$y = 4 \sqrt{x + 3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 4 \sqrt{y + 3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $4 \sqrt{y + 3} = x$ um.

$4 \sqrt{y + 3} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sqrt{y + 3} = x$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sqrt{y + 3} = x$ durch $4$ .

$\frac{4 \sqrt{y + 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{y + 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt{y + 3}$ durch $1$ .

$\sqrt{y + 3} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 3}$ als ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 3)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y + 3 = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{4}$ an.

$y + 3 = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y + 3 = \frac{x^{2}}{16}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x^{2}}{16} - 3$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 \sqrt{x + 3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{{(4 \sqrt{x + 3})}^{2}}{16} - 3$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{x + 3}$ an.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{4^{2} {\sqrt{x + 3}}^{2}}{16} - 3$

Schritt 4.2.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {\sqrt{x + 3}}^{2}}{16} - 3$

Schritt 4.2.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ als $x + 3$ um.

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} - 3$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} - 3$

Schritt 4.2.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{16} - 3$

Schritt 4.2.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{16} - 3$

Schritt 4.2.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

Schritt 4.2.3.1.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

Schritt 4.2.3.2.2

Dividiere $x + 3$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{16} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{(\frac{x^{2}}{16} - 3) + 3}$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{16} + 0}$

Schritt 4.3.4

Addiere $\frac{x^{2}}{16}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{16}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe $\frac{x^{2}}{4^{2}}$ als ${(\frac{x}{4})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{{(\frac{x}{4})}^{2}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 4.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$