Algebra Beispiele

$x^{6} - 9 x^{4} - x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{6} - 9 x^{4}) - x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{4} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x^{2} - 9$ .

$(x^{2} - 9) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x + 3) (x - 3) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 3) (x - 3) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 8.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 10

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 11

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 12

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 12.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 12.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 12.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 12.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 12.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 13

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 14

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, i, - i, - 1, 1$