Algebra Beispiele

$\frac{2 y^{2} + 2}{y^{3} - 5 y^{2} + y - 5}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{2 y^{2} + 2}{y^{3} - 5 y^{2} + y - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y^{3} - 5 y^{2} + y - 5 = 0$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(y^{3} - 5 y^{2}) + y - 5 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y^{2} (y - 5) + 1 (y - 5) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 5$ .

$(y - 5) (y^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

$y^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $y - 5$ gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5$

Schritt 2.4

Setze $y^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $y^{2} + 1$ gleich $0$ .

$y^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $y^{2} + 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.4.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \pm i$

Schritt 2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = i$

Schritt 2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - i$

Schritt 2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = i, - i$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 5) (y^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$y = 5, i, - i$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$y = 5$

Schritt 4