Algebra Beispiele

$\log_{2} (x^{2} - 7) - \log_{2} (x + 5) = 0$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$

Schritt 2

Schreibe $\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{x^{2} - 7}{x + 5}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} - 7 = 2^{0} (x + 5)$

Schritt 4

Vereinfache $2^{0} (x + 5)$ .

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Schritt 4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} - 7 = 1 (x + 5)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x + 5$ mit $1$ .

$x^{2} - 7 = x + 5$

Schritt 5

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 7 - x = 5$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x = 5 + 7$

Schritt 6.2

Addiere $5$ und $7$ .

$x^{2} - x = 12$

Schritt 7

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 12 = 0$

Schritt 8

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 10

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 11

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 3$