Algebra Beispiele

Solve $\sqrt{2 x + 21} = \sqrt{2 x} + 3$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x + 21}}^{2} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 21}$ als ${(2 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 21)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 21)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 21)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 21)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 21)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 21)}^{1} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 x + 21 = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$ als $(\sqrt{2 x} + 3) (\sqrt{2 x} + 3)$ um.

$2 x + 21 = (\sqrt{2 x} + 3) (\sqrt{2 x} + 3)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{2 x} + 3) (\sqrt{2 x} + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 21 = \sqrt{2 x} (\sqrt{2 x} + 3) + 3 (\sqrt{2 x} + 3)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 21 = \sqrt{2 x} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 (\sqrt{2 x} + 3)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 21 = \sqrt{2 x} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$2 x + 21 = {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$2 x + 21 = {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x + 21 = {\sqrt{2 x}}^{1 + 1} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x + 21 = {\sqrt{2 x}}^{2} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ als $2 x$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + 21 = {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 21 = {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x + 21 = {(2 x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 21 = {(2 x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 21 = {(2 x)}^{1} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$2 x + 21 = 2 x + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 x}$ .

$2 x + 21 = 2 x + 3 \cdot \sqrt{2 x} + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$2 x + 21 = 2 x + 3 \sqrt{2 x} + 3 \sqrt{2 x} + 9$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $3 \sqrt{2 x}$ und $3 \sqrt{2 x}$ .

$2 x + 21 = 2 x + 6 \sqrt{2 x} + 9$

Schritt 3

Löse nach $6 \sqrt{2 x}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 x + 6 \sqrt{2 x} + 9 = 2 x + 21$ um.

$2 x + 6 \sqrt{2 x} + 9 = 2 x + 21$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $6 \sqrt{2 x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sqrt{2 x} + 9 = 2 x + 21 - 2 x$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sqrt{2 x} = 2 x + 21 - 2 x - 9$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 21 - 2 x - 9$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$6 \sqrt{2 x} = 0 + 21 - 9$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $0$ und $21$ .

$6 \sqrt{2 x} = 21 - 9$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $9$ von $21$ .

$6 \sqrt{2 x} = 12$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(6 \sqrt{2 x})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(6 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(6 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

${(6 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $6 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(6 \cdot 2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ an.

$6^{2} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$36 \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$36 \cdot 2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$36 \cdot 2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $36$ mit $2$ .

$72 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$72 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$72 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$72 x^{1} = 12^{2}$

Schritt 5.2.1.8

Vereinfache.

$72 x = 12^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$72 x = 144$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $72 x = 144$ durch $72$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $72 x = 144$ durch $72$ .

$\frac{72 x}{72} = \frac{144}{72}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $72$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{72 x}{72} = \frac{144}{72}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{144}{72}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $144$ durch $72$ .

$x = 2$