Algebra Beispiele

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 6}{x + 4}$

Schritt 1

Schreibe $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 6}{x + 4}$ als Gleichung.

$y = \frac{2 x + 6}{x + 4}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y + 6}{y + 4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 y + 6}{y + 4} = x$ um.

$\frac{2 y + 6}{y + 4} = x$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 6$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (y) + 6}{y + 4} = x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 y + 2 \cdot 3}{y + 4} = x$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (y + 3)}{y + 4} = x$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 4, 1$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$y + 4, 1$

Schritt 3.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 4$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 (y + 3)}{y + 4} = x$ mit $y + 4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 (y + 3)}{y + 4} = x$ mit $y + 4$ .

$\frac{2 (y + 3)}{y + 4} (y + 4) = x (y + 4)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 4$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (y + 3)}{y + 4} (y + 4) = x (y + 4)$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (y + 3) = x (y + 4)$

Schritt 3.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 2 \cdot 3 = x (y + 4)$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 y + 6 = x (y + 4)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 6 = x y + x \cdot 4$

Schritt 3.4.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 y + 6 = x y + 4 x$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + 6 - x y = 4 x$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y - x y = 4 x - 6$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $2 y - x y$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \cdot 2 - x y = 4 x - 6$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 2 + y (- x) = 4 x - 6$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (- x)$ heraus.

$y (2 - x) = 4 x - 6$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (2 - x) = 4 x - 6$ durch $2 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (2 - x) = 4 x - 6$ durch $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{4 x}{2 - x} + \frac{- 6}{2 - x}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{4 x}{2 - x} + \frac{- 6}{2 - x}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 x}{2 - x} + \frac{- 6}{2 - x}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 x - 6}{2 - x}$

Schritt 3.5.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 6$ heraus.

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Schritt 3.5.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{2 (2 x) - 6}{2 - x}$

Schritt 3.5.4.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{2 (2 x) + 2 (- 3)}{2 - x}$

Schritt 3.5.4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$y = \frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f (x) = \frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f (x) = \frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}$ die Umkehrfunktion von $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 6}{x + 4}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist und $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f (\frac{2 x + 6}{x + 4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (2 (\frac{2 x + 6}{x + 4}) - 3)}{2 - (\frac{2 x + 6}{x + 4})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (2 (\frac{2 (x) + 6}{x + 4}) - 3)}{2 - \frac{2 x + 6}{x + 4}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (2 (\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x + 4}) - 3)}{2 - \frac{2 x + 6}{x + 4}}$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (2 (\frac{2 (x + 3)}{x + 4}) - 3)}{2 - \frac{2 x + 6}{x + 4}}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (2 (\frac{2 (x + 3)}{x + 4}) - 3)}{2 - \frac{2 (x) + 6}{x + 4}}$

Schritt 5.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (2 (\frac{2 (x + 3)}{x + 4}) - 3)}{2 - \frac{2 x + 2 \cdot 3}{x + 4}}$

Schritt 5.2.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (2 (\frac{2 (x + 3)}{x + 4}) - 3)}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $2 \frac{2 (x + 3)}{x + 4}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 (x + 3)}{x + 4}$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{2 (2 (x + 3))}{x + 4} - 3)}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{4 (x + 3)}{x + 4} - 3)}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{4 (x + 3)}{x + 4} - 3 \cdot \frac{x + 4}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{4 (x + 3)}{x + 4} + \frac{- 3 (x + 4)}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{4 (x + 3) - 3 (x + 4)}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{4 (x + 3) - 3 (x + 4)}{x + 4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{4 x + 4 \cdot 3 - 3 (x + 4)}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{4 x + 12 - 3 (x + 4)}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{4 x + 12 - 3 x - 3 \cdot 4}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{4 x + 12 - 3 x - 12}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x + 12 - 12}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x + 0}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.5.7

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{2 - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.5.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2 (x + 4)}{x + 4} - \frac{2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2 (x + 4) - 2 (x + 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5.3

Schreibe $\frac{2 (x + 4) - 2 (x + 3)}{x + 4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + 4) - 2 (x + 3)$ heraus.

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Schritt 5.2.5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x + 3)$ heraus.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2 (x + 4) + 2 (- (x + 3))}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + 4) + 2 (- (x + 3))$ heraus.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2 (x + 4 - (x + 3))}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2 (x + 4 - x - 1 \cdot 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2 (x + 4 - x - 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5.3.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2 (0 + 4 - 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5.3.5

Addiere $0$ und $4$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2 (4 - 3)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5.3.6

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2 \cdot 1}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 4})}{\frac{2}{x + 4}}$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{x + 4}$ .

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{\frac{2 x}{x + 4}}{\frac{2}{x + 4}}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{2}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 (x)}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{2}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{2 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{2}$

Schritt 5.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

Schritt 5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x + 6}{x + 4}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) + 6}{(\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) + 4}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) + 6$ und $(\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) + 4$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) + 2 \cdot 3}{\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 4}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) + 2 (3)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 3)}{(\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) + 4}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 3)}{2 (\frac{2 x - 3}{2 - x}) + 4}$

Schritt 5.3.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 3)}{2 (\frac{2 x - 3}{2 - x}) + 2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{2 x - 3}{2 - x} + 2 \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 3)}{2 (\frac{2 x - 3}{2 - x} + 2)}$

Schritt 5.3.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 3)}{2 (\frac{2 x - 3}{2 - x} + 2)}$

Schritt 5.3.3.3.5

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 3}{\frac{2 x - 3}{2 - x} + 2}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $2 - x$ .

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Schritt 5.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 3}{\frac{2 x - 3}{2 - x} + 2}$ mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 - x}{2 - x} \cdot \frac{\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 3}{\frac{2 x - 3}{2 - x} + 2}$

Schritt 5.3.4.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x} + 3)}{(2 - x) (\frac{2 x - 3}{2 - x} + 2)}$

Schritt 5.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) + (2 - x) \cdot 3}{(2 - x) (\frac{2 x - 3}{2 - x}) + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 5.3.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{(2 - x) (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) + (2 - x) \cdot 3}{(2 - x) (\frac{2 x - 3}{2 - x}) + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (2 x - 3) + (2 - x) \cdot 3}{(2 - x) (\frac{2 x - 3}{2 - x}) + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 5.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (2 x - 3) + (2 - x) \cdot 3}{(2 - x) (\frac{2 x - 3}{2 - x}) + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (2 x - 3) + (2 - x) \cdot 3}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 3 + (2 - x) \cdot 3}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{4 x + 2 \cdot - 3 + (2 - x) \cdot 3}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{4 x - 6 + (2 - x) \cdot 3}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{4 x - 6 + 2 \cdot 3 - x \cdot 3}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{4 x - 6 + 6 - x \cdot 3}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{4 x - 6 + 6 - 3 x}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.7

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{x - 6 + 6}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.8

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{x + 0}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.9

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{x}{2 x - 3 + (2 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{x}{2 x - 3 + 2 \cdot 2 - x \cdot 2}$

Schritt 5.3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{x}{2 x - 3 + 4 - x \cdot 2}$

Schritt 5.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{x}{2 x - 3 + 4 - 2 x}$

Schritt 5.3.8.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{x}{0 - 3 + 4}$

Schritt 5.3.8.5

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{x}{- 3 + 4}$

Schritt 5.3.8.6

Addiere $- 3$ und $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = \frac{x}{1}$

Schritt 5.3.9

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f (f^{- 1} (x)) = x$ und $f^{- 1} (f (x)) = x$ gleich sind, ist $f (x) = \frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 6}{x + 4}$ .

$f (x) = \frac{2 (2 x - 3)}{2 - x}$