Algebra Beispiele

$\frac{3 a^{2} + 6 a + 3}{a^{2} - 3 a - 10} \div \frac{12 a^{2} - 12}{a^{2} - 4}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{3 a^{2} + 6 a + 3}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 a^{2} + 6 a + 3$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 a^{2}$ heraus.

$\frac{3 (a^{2}) + 6 a + 3}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 a$ heraus.

$\frac{3 (a^{2}) + 3 (2 a) + 3}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (a^{2}) + 3 (2 a) + 3 (1)}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (a^{2}) + 3 (2 a)$ heraus.

$\frac{3 (a^{2} + 2 a) + 3 (1)}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (a^{2} + 2 a) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 (a^{2} + 2 a + 1)}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 (a^{2} + 2 a + 1^{2})}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3 (a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2})}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 3

Faktorisiere $a^{2} - 3 a - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{a^{2} - 2^{2}}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 2$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 a^{2} - 12}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $12$ aus $12 a^{2} - 12$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 a^{2}$ heraus.

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a^{2}) - 12}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a^{2}) + 12 (- 1)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12 (a^{2}) + 12 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a^{2} - 1)}$

Schritt 5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a^{2} - 1^{2})}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{3 {(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2))}{(a - 5) (a + 2) (12 (a + 1) (a - 1))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2))$ heraus.

$\frac{3 ({(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2)))}{(a - 5) (a + 2) (12 (a + 1) (a - 1))}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $(a - 5) (a + 2) (12 (a + 1) (a - 1))$ heraus.

$\frac{3 ({(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2)))}{3 ((a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1)))}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 ({(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2)))}{3 ((a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1)))}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2))}{(a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1))}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a + 1)}^{2}$ und $a + 1$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $a + 1$ aus ${(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2))$ heraus.

$\frac{(a + 1) ((a + 1) ((a + 2) (a - 2)))}{(a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1))}$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $a + 1$ aus $(a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1))$ heraus.

$\frac{(a + 1) ((a + 1) ((a + 2) (a - 2)))}{(a + 1) ((a - 5) (a + 2) (4 (a - 1)))}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 1) ((a + 1) ((a + 2) (a - 2)))}{(a + 1) ((a - 5) (a + 2) (4 (a - 1)))}$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a + 1) ((a + 2) (a - 2))}{(a - 5) (a + 2) (4 (a - 1))}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 2$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 1) ((a + 2) (a - 2))}{(a - 5) (a + 2) (4 (a - 1))}$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a + 1) (a - 2)}{(a - 5) (4 (a - 1))}$

Schritt 6.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a - 5$ .

$\frac{(a + 1) (a - 2)}{4 (a - 5) (a - 1)}$