Algebra Beispiele

$\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5}) = \log_{5} (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ um.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache $\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}})$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{125}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{125}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Schritt 2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Schritt 2.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 2.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 2.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 2.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{1}})$

Schritt 2.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $125$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $125 \sqrt{5}$ heraus.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5})$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 (1)})$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 \cdot 1})$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{25 \sqrt{5}}{1})$

Schritt 2.1.4.2.4

Dividiere $25 \sqrt{5}$ durch $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (25 \sqrt{5})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x = 25 \sqrt{5}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 25 \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 55.90169943 \dots$