Algebra Beispiele

$\sqrt{x} - \sqrt{x - 5} = 2$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{x - 5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x} = 2 + \sqrt{x - 5}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = {(2 + \sqrt{x - 5})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{x - 5})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x - 5})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x - 5})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(2 + \sqrt{x - 5})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(2 + \sqrt{x - 5})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(2 + \sqrt{x - 5})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(2 + \sqrt{x - 5})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{x - 5}) (2 + \sqrt{x - 5})$ um.

$x = (2 + \sqrt{x - 5}) (2 + \sqrt{x - 5})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(2 + \sqrt{x - 5}) (2 + \sqrt{x - 5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 2 (2 + \sqrt{x - 5}) + \sqrt{x - 5} (2 + \sqrt{x - 5})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x - 5} + \sqrt{x - 5} (2 + \sqrt{x - 5})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x - 5} + \sqrt{x - 5} \cdot 2 + \sqrt{x - 5} \sqrt{x - 5}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + \sqrt{x - 5} \cdot 2 + \sqrt{x - 5} \sqrt{x - 5}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{x - 5}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \cdot \sqrt{x - 5} + \sqrt{x - 5} \sqrt{x - 5}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{x - 5} \sqrt{x - 5}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{x - 5}$ mit $1$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + {\sqrt{x - 5}}^{1} \sqrt{x - 5}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{x - 5}$ mit $1$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + {\sqrt{x - 5}}^{1} {\sqrt{x - 5}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + {\sqrt{x - 5}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + {\sqrt{x - 5}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{x - 5}}^{2}$ als $x - 5$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + {(x - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + {(x - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + {(x - 5)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$x = 4 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + x - 5$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$x = - 1 + 2 \sqrt{x - 5} + 2 \sqrt{x - 5} + x$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $2 \sqrt{x - 5}$ und $2 \sqrt{x - 5}$ .

$x = - 1 + 4 \sqrt{x - 5} + x$

Schritt 4

Löse nach $4 \sqrt{x - 5}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + 4 \sqrt{x - 5} + x = x$ um.

$- 1 + 4 \sqrt{x - 5} + x = x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $4 \sqrt{x - 5}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{x - 5} + x = x + 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{x - 5} = x + 1 - x$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$4 \sqrt{x - 5} = 0 + 1$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$4 \sqrt{x - 5} = 1$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(4 \sqrt{x - 5})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$4^{2} {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(x - 5)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$16 (x - 5) = 1^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x + 16 \cdot - 5 = 1^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $16$ mit $- 5$ .

$16 x - 80 = 1^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$16 x - 80 = 1$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Addiere $80$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x = 1 + 80$

Schritt 7.1.2

Addiere $1$ und $80$ .

$16 x = 81$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $16 x = 81$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 x = 81$ durch $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{81}{16}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x}{16} = \frac{81}{16}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{81}{16}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{81}{16}$

Dezimalform:

$x = 5.0625$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 5 \frac{1}{16}$