Algebra Beispiele

$f (x) = (x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i))$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i))$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i)) = 0$ um.

$(x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i)) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - (4 + 3 i) = 0$

$x - (4 - 3 i) = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.5

Setze $x - (4 + 3 i)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - (4 + 3 i)$ gleich $0$ .

$x - (4 + 3 i) = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x - (4 + 3 i) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 1 \cdot 4 - (3 i) = 0$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x - 4 - (3 i) = 0$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x - 4 - 3 i = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - 3 i = 4$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Addiere $3 i$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4 + 3 i$

Schritt 1.2.6

Setze $x - (4 - 3 i)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - (4 - 3 i)$ gleich $0$ .

$x - (4 - 3 i) = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $x - (4 - 3 i) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 1 \cdot 4 - (- 3 i) = 0$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x - 4 - (- 3 i) = 0$

Schritt 1.2.6.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x - 4 + 3 i = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 3 i = 4$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Subtrahiere $3 i$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4 - 3 i$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i)) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 1, 4 + 3 i, 4 - 3 i$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0), (1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = ((0) + 2) ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (0 + 2) ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0 + 2) (0 - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = (0 + 2) (0 - 1) (0 - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = (0 + 2) (0 - 1) (0 - (4 + 3 i)) (0 - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.5

Entferne die Klammern.

$y = ((0) + 2) ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6

Vereinfache $((0) + 2) ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$ .

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.6.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$y = 2 ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = 2 \cdot - 1 ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 2 ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.6.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 2 (0 - 1 \cdot 4 - (3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - 2 (0 - 4 - (3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = - 2 (0 - 4 - 3 i) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.4

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.6.1.4.1

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$y = - 2 (- 4 - 3 i) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (- 2 \cdot - 4 - 2 (- 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.4.3

Multipliziere.

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Schritt 2.2.6.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = (8 - 2 (- 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.4.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$y = (8 + 6 i) ((0) - (4 - 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.6.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (8 + 6 i) (0 - 1 \cdot 4 - (- 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = (8 + 6 i) (0 - 4 - (- 3 i))$

Schritt 2.2.6.1.5.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = (8 + 6 i) (0 - 4 + 3 i)$

Schritt 2.2.6.1.6

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$y = (8 + 6 i) (- 4 + 3 i)$

Schritt 2.2.6.2

Multipliziere $(8 + 6 i) (- 4 + 3 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 8 (- 4 + 3 i) + 6 i (- 4 + 3 i)$

Schritt 2.2.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 8 \cdot - 4 + 8 (3 i) + 6 i (- 4 + 3 i)$

Schritt 2.2.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 8 \cdot - 4 + 8 (3 i) + 6 i \cdot - 4 + 6 i (3 i)$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.6.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$y = - 32 + 8 (3 i) + 6 i \cdot - 4 + 6 i (3 i)$

Schritt 2.2.6.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$y = - 32 + 24 i + 6 i \cdot - 4 + 6 i (3 i)$

Schritt 2.2.6.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 6 i (3 i)$

Schritt 2.2.6.3.1.4

Multipliziere $6 i (3 i)$ .

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Schritt 2.2.6.3.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 i i$

Schritt 2.2.6.3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 (i^{1} i)$

Schritt 2.2.6.3.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 (i^{1} i^{1})$

Schritt 2.2.6.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 i^{1 + 1}$

Schritt 2.2.6.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 i^{2}$

Schritt 2.2.6.3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 \cdot - 1$

Schritt 2.2.6.3.1.6

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i - 18$

Schritt 2.2.6.3.2

Subtrahiere $18$ von $- 32$ .

$y = - 50 + 24 i - 24 i$

Schritt 2.2.6.3.3

Subtrahiere $24 i$ von $24 i$ .

$y = - 50 + 0$

Schritt 2.2.6.3.4

Addiere $- 50$ und $0$ .

$y = - 50$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 50)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0), (1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 50)$

Schritt 4