Algebra Beispiele

$N = \sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}} = N$ um.

$\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}} = N$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $b$ . Potenz.

${\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}}}^{b} = N^{b}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}}$ als ${(\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})}^{\frac{1}{b}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})}^{\frac{1}{b}})}^{b} = N^{b}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})}^{\frac{1}{b}})}^{b}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}$ an.

${(\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}}})}^{b} = N^{b}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}}}$ an.

$\frac{{({(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b} b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b} b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(1 + 2^{b})}^{1}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Schritt 3.2.1.2.2

Vereinfache.

$\frac{1 + 2^{b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 + 2^{b}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b} b}} = N^{b}$

Schritt 3.2.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 3.2.1.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2^{b}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b} b}} = N^{b}$

Schritt 3.2.1.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 2^{b}}{{(1 + 2^{- b})}^{1}} = N^{b}$

Schritt 3.2.1.3.2

Vereinfache.

$\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}} = N^{b}$

Schritt 4

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 4.1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}) = \ln (N^{b})$

Schritt 4.2

Schreibe $\ln (\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})$ als $\ln (1 + 2^{b}) - \ln (1 + 2^{- b})$ um.

$\ln (1 + 2^{b}) - \ln (1 + 2^{- b}) = \ln (N^{b})$

Schritt 4.3

Zerlege $\ln (N^{b})$ durch Herausziehen von $b$ aus dem Logarithmus.

$\ln (1 + 2^{b}) - \ln (1 + 2^{- b}) = b \ln (N)$