Algebra Beispiele

$\frac{x^{3} + x^{2} y + x y^{2}}{\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $y x$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{3} + x^{2} y + x y^{2}}{\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}}$ mit $\frac{y x}{y x}$ .

$\frac{y x}{y x} \cdot \frac{x^{3} + x^{2} y + x y^{2}}{\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{y x (x^{3} + x^{2} y + x y^{2})}{y x (\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{y x \frac{x^{2}}{y} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{y (x) \frac{x^{2}}{y} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{y x \frac{x^{2}}{y} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x \cdot x^{2} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{1} x^{2} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{1 + 2} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{x}$ in den Zähler.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + y x \frac{- y^{2}}{x}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $y x$ heraus.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + x y \frac{- y^{2}}{x}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + x y \frac{- y^{2}}{x}}$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + y (- y^{2})}$

Schritt 3.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - (y^{1} y^{2})}$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - y^{1 + 2}}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y x \cdot x$ aus $y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $y x \cdot x$ aus $y x \cdot x^{3}$ heraus.

$\frac{y x \cdot x (x^{2}) + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $y x \cdot x$ aus $y x (x^{2} y)$ heraus.

$\frac{y x \cdot x (x^{2}) + y x \cdot x (x y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $y x \cdot x$ aus $y x (x y^{2})$ heraus.

$\frac{y x \cdot x (x^{2}) + y x \cdot x (x y) + y x \cdot x (y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $y x \cdot x$ aus $y x \cdot x (x^{2}) + y x \cdot x (x y)$ heraus.

$\frac{y x \cdot x (x^{2} + x y) + y x \cdot x (y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $y x \cdot x$ aus $y x \cdot x (x^{2} + x y) + y x \cdot x (y^{2})$ heraus.

$\frac{y x \cdot x (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y (x^{1} x) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{1}) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x^{1 + 1} (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y x^{2} (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{y x^{2} (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x y + y^{2}$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x^{2} (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x^{2}}{x - y}$