Algebra Beispiele

$x^{\frac{4}{3}} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{\frac{4}{3}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ um.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{2}{3}}$ .

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 10 u + 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $9$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 9, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Schritt 5

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Schritt 6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{\frac{1}{3}}$ und $b = 3$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Schritt 8

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) = 0$

Schritt 9

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{\frac{1}{3}}$ und $b = 1$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) = 0$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$