Algebra Beispiele

$\frac{2}{5} \cdot 4^{5 v} - 8 = 4$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{2}{5} \cdot 4^{5 v} - 8$ .

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Schritt 1.1

Multipliziere $\frac{2}{5} \cdot 4^{5 v}$ .

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $4^{5 v}$ .

$\frac{2 \cdot 4^{5 v}}{5} - 8 = 4$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{5 v}}{5} - 8 = 4$

Schritt 1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{5 v}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2 (5 v)}}{5} - 8 = 4$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{10 v}}{5} - 8 = 4$

Schritt 1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{1 + 10 v}}{5} - 8 = 4$

Schritt 1.2

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{1 + 10 v}}{5} - 8 \cdot \frac{5}{5} = 4$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{1 + 10 v}}{5} + \frac{- 8 \cdot 5}{5} = 4$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{1 + 10 v} - 8 \cdot 5}{5} = 4$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$\frac{2^{1 + 10 v} - 40}{5} = 4$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $5$ .

$\frac{2^{1 + 10 v} - 40}{5} \cdot 5 = 4 \cdot 5$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{2^{1 + 10 v} - 40}{5} \cdot 5$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{1 + 10 v} - 40}{5} \cdot 5 = 4 \cdot 5$

Schritt 3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1 + 10 v} - 40 = 4 \cdot 5$

Schritt 3.1.1.2

Stelle $1$ und $10 v$ um.

$2^{10 v + 1} - 40 = 4 \cdot 5$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$2^{10 v + 1} - 40 = 20$

Schritt 4

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $40$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{10 v + 1} = 20 + 40$

Schritt 4.1.2

Addiere $20$ und $40$ .

$2^{10 v + 1} = 60$

Schritt 4.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{10 v + 1}) = \ln (60)$

Schritt 4.3

Zerlege $\ln (2^{10 v + 1})$ durch Herausziehen von $10 v + 1$ aus dem Logarithmus.

$(10 v + 1) \ln (2) = \ln (60)$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $(10 v + 1) \ln (2)$ .

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Schritt 4.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 v \ln (2) + 1 \ln (2) = \ln (60)$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$10 v \ln (2) + \ln (2) = \ln (60)$

Schritt 4.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$10 v \ln (2) + \ln (2) - \ln (60) = 0$

Schritt 4.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{2}{60}) = 0$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $60$ .

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{2 (1)}{60}) = 0$

Schritt 4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $60$ heraus.

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 30}) = 0$

Schritt 4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 30}) = 0$

Schritt 4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{1}{30}) = 0$

Schritt 4.8

Subtrahiere $\ln (\frac{1}{30})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 v \ln (2) = - \ln (\frac{1}{30})$

Schritt 4.9

Teile jeden Ausdruck in $10 v \ln (2) = - \ln (\frac{1}{30})$ durch $10 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Teile jeden Ausdruck in $10 v \ln (2) = - \ln (\frac{1}{30})$ durch $10 \ln (2)$ .

$\frac{10 v \ln (2)}{10 \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Schritt 4.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 v \ln (2)}{10 \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Schritt 4.9.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{v \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Schritt 4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 4.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Schritt 4.9.2.2.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Schritt 4.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v = - \frac{\ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$v = - \frac{\ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Dezimalform:

$v = 0.49068905 \dots$