Algebra Beispiele

$f (x) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$ als Gleichung.

$y = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 8 (\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $8 (\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} + 4) = x$ um.

$8 (\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} + 4) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 (\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} + 4) = x$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} + 4) = x$ durch $8$ .

$\frac{8 (\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} + 4$ durch $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} + 4 = \frac{x}{8}$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{x}{8} = - 4$

Schritt 3.3.2

Addiere $\frac{x}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} = - 4 + \frac{x}{8}$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} = 9 (- 4 + \frac{x}{8})$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{9} = 9 (- 4 + \frac{x}{8})$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{3}} = 9 (- 4 + \frac{x}{8})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $9 (- 4 + \frac{x}{8})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{\frac{1}{3}} = 9 \cdot - 4 + 9 \frac{x}{8}$

Schritt 3.5.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 4$ .

$y^{\frac{1}{3}} = - 36 + 9 \frac{x}{8}$

Schritt 3.5.2.1.3

Kombiniere $9$ und $\frac{x}{8}$ .

$y^{\frac{1}{3}} = - 36 + \frac{9 x}{8}$

Schritt 3.6

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 36 + \frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 36 + \frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 36 + \frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(- 36 + \frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(- 36 + \frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Vereinfache ${(- 36 + \frac{9 x}{8})}^{3}$ .

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Schritt 3.7.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = {(- 36)}^{3} + 3 {(- 36)}^{2} \frac{9 x}{8} + 3 \cdot - 36 {(\frac{9 x}{8})}^{2} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.2.1.2.1

Potenziere $- 36$ mit $3$ .

$y = - 46656 + 3 {(- 36)}^{2} \frac{9 x}{8} + 3 \cdot - 36 {(\frac{9 x}{8})}^{2} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.2

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$y = - 46656 + 3 \cdot 1296 \frac{9 x}{8} + 3 \cdot - 36 {(\frac{9 x}{8})}^{2} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1296$ .

$y = - 46656 + 3888 \frac{9 x}{8} + 3 \cdot - 36 {(\frac{9 x}{8})}^{2} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.7.2.1.2.4.1

Faktorisiere $8$ aus $3888$ heraus.

$y = - 46656 + 8 (486) \frac{9 x}{8} + 3 \cdot - 36 {(\frac{9 x}{8})}^{2} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 46656 + 8 \cdot 486 \frac{9 x}{8} + 3 \cdot - 36 {(\frac{9 x}{8})}^{2} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - 46656 + 486 (9 x) + 3 \cdot - 36 {(\frac{9 x}{8})}^{2} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $486$ .

$y = - 46656 + 4374 x + 3 \cdot - 36 {(\frac{9 x}{8})}^{2} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 36$ .

$y = - 46656 + 4374 x - 108 {(\frac{9 x}{8})}^{2} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.7.2.1.2.7.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9 x}{8}$ an.

$y = - 46656 + 4374 x - 108 \frac{{(9 x)}^{2}}{8^{2}} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.7.2

Wende die Produktregel auf $9 x$ an.

$y = - 46656 + 4374 x - 108 \frac{9^{2} x^{2}}{8^{2}} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.8

Potenziere $9$ mit $2$ .

$y = - 46656 + 4374 x - 108 \frac{81 x^{2}}{8^{2}} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.9

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = - 46656 + 4374 x - 108 \frac{81 x^{2}}{64} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.7.2.1.2.10.1

Faktorisiere $4$ aus $- 108$ heraus.

$y = - 46656 + 4374 x + 4 (- 27) \frac{81 x^{2}}{64} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.10.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$y = - 46656 + 4374 x + 4 \cdot - 27 \frac{81 x^{2}}{4 \cdot 16} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 46656 + 4374 x + 4 \cdot - 27 \frac{81 x^{2}}{4 \cdot 16} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.10.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 46656 + 4374 x - 27 \frac{81 x^{2}}{16} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.11

Kombiniere $- 27$ und $\frac{81 x^{2}}{16}$ .

$y = - 46656 + 4374 x + \frac{- 27 (81 x^{2})}{16} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.12

Mutltipliziere $81$ mit $- 27$ .

$y = - 46656 + 4374 x + \frac{- 2187 x^{2}}{16} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - 46656 + 4374 x - \frac{2187 x^{2}}{16} + {(\frac{9 x}{8})}^{3}$

Schritt 3.7.2.1.2.14

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.7.2.1.2.14.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9 x}{8}$ an.

$y = - 46656 + 4374 x - \frac{2187 x^{2}}{16} + \frac{{(9 x)}^{3}}{8^{3}}$

Schritt 3.7.2.1.2.14.2

Wende die Produktregel auf $9 x$ an.

$y = - 46656 + 4374 x - \frac{2187 x^{2}}{16} + \frac{9^{3} x^{3}}{8^{3}}$

Schritt 3.7.2.1.2.15

Potenziere $9$ mit $3$ .

$y = - 46656 + 4374 x - \frac{2187 x^{2}}{16} + \frac{729 x^{3}}{8^{3}}$

Schritt 3.7.2.1.2.16

Potenziere $8$ mit $3$ .

$y = - 46656 + 4374 x - \frac{2187 x^{2}}{16} + \frac{729 x^{3}}{512}$

Schritt 3.8

Vereinfache $- 46656 + 4374 x - \frac{2187 x^{2}}{16} + \frac{729 x^{3}}{512}$ .

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Schritt 3.8.1

Bewege $- 46656$ .

$y = 4374 x - \frac{2187 x^{2}}{16} + \frac{729 x^{3}}{512} - 46656$

Schritt 3.8.2

Bewege $4374 x$ .

$y = - \frac{2187 x^{2}}{16} + \frac{729 x^{3}}{512} + 4374 x - 46656$

Schritt 3.8.3

Stelle $- \frac{2187 x^{2}}{16}$ und $\frac{729 x^{3}}{512}$ um.

$y = \frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{729 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{3}}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$ an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{729 \cdot (8^{3} {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)}^{3})}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{729 \cdot (512 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)}^{3})}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.1.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{729 \cdot (512 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9})}^{3})}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.1.4

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{9}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{729 \cdot (512 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9})}^{3})}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{729 \cdot (512 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} + 4 \cdot 9}{9})}^{3})}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{729 \cdot (512 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} + 36}{9})}^{3})}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.1.7

Mutltipliziere $729$ mit $512$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{373248 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} + 36}{9})}^{3}}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 36}{9}$ an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{373248 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}}{9^{3}})}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.1.9

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{373248 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}}{729})}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $373248$ und $\frac{{(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}}{729}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{\frac{373248 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}}{729}}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{373248 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}}{729}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Faktorisiere $729$ aus $373248 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}$ heraus.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{\frac{729 (512 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3})}{729}}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Faktorisiere $729$ aus $729$ heraus.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{\frac{729 (512 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3})}{729 (1)}}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{\frac{729 (512 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3})}{729 \cdot 1}}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{\frac{512 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}}{1}}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $512 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = \frac{512 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}}{512} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.5

Dividiere ${(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{3} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 36 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{2} + 36^{3} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.7.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.7.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 36 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{2} + 36^{3} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.7.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 36 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{2} + 36^{3} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.7.2

Vereinfache.

Schritt 5.2.3.7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot 36 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{2} + 36^{3} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 36 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{2} + 36^{3} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.7.4

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{2} + 36^{3} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.7.5

Potenziere $36$ mit $2$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1296 + 36^{3} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.7.6

Mutltipliziere $1296$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 36^{3} - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.7.7

Potenziere $36$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{2187 {(8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4))}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.8.1

Wende die Produktregel auf $8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$ an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{2187 \cdot (8^{2} {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)}^{2})}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.8.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{2187 \cdot (64 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)}^{2})}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.8.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{2187 \cdot (64 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9})}^{2})}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.8.4

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{9}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{2187 \cdot (64 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9})}^{2})}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{2187 \cdot (64 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} + 4 \cdot 9}{9})}^{2})}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.8.6

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{2187 \cdot (64 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} + 36}{9})}^{2})}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.8.7

Mutltipliziere $2187$ mit $64$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{139968 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} + 36}{9})}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.8.8

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 36}{9}$ an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{139968 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}}{9^{2}})}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.8.9

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{139968 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}}{81})}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.9

Kombiniere $139968$ und $\frac{{(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}}{81}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{\frac{139968 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}}{81}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.10

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.10.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{139968 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}}{81}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.10.1.1

Faktorisiere $81$ aus $139968 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{\frac{81 (1728 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2})}{81}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.10.1.2

Faktorisiere $81$ aus $81$ heraus.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{\frac{81 (1728 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2})}{81 (1)}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{\frac{81 (1728 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2})}{81 \cdot 1}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.10.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{\frac{1728 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}}{1}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.10.2

Dividiere $1728 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{1728 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.11

Faktorisiere $16$ aus $1728 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{16 (108 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2})}{16} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.12.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{16 (108 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2})}{16 (1)} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{16 (108 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2})}{16 \cdot 1} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - \frac{108 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}}{1} + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.12.4

Dividiere $108 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 {(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.13

Schreibe ${(x^{\frac{1}{3}} + 36)}^{2}$ als $(x^{\frac{1}{3}} + 36) (x^{\frac{1}{3}} + 36)$ um.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 ((x^{\frac{1}{3}} + 36) (x^{\frac{1}{3}} + 36))) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.14

Multipliziere $(x^{\frac{1}{3}} + 36) (x^{\frac{1}{3}} + 36)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} + 36) + 36 (x^{\frac{1}{3}} + 36))) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 36 + 36 (x^{\frac{1}{3}} + 36))) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 36 + 36 x^{\frac{1}{3}} + 36 \cdot 36)) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.15.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.15.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 36 + 36 x^{\frac{1}{3}} + 36 \cdot 36)) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.15.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 36 + 36 x^{\frac{1}{3}} + 36 \cdot 36)) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.15.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 36 + 36 x^{\frac{1}{3}} + 36 \cdot 36)) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.15.1.2

Bringe $36$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 (x^{\frac{2}{3}} + 36 \cdot x^{\frac{1}{3}} + 36 x^{\frac{1}{3}} + 36 \cdot 36)) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.15.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $36$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 (x^{\frac{2}{3}} + 36 x^{\frac{1}{3}} + 36 x^{\frac{1}{3}} + 1296)) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.15.2

Addiere $36 x^{\frac{1}{3}}$ und $36 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 (x^{\frac{2}{3}} + 72 x^{\frac{1}{3}} + 1296)) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 x^{\frac{2}{3}} + 108 (72 x^{\frac{1}{3}}) + 108 \cdot 1296) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.17

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.17.1

Mutltipliziere $72$ mit $108$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 x^{\frac{2}{3}} + 7776 x^{\frac{1}{3}} + 108 \cdot 1296) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.17.2

Mutltipliziere $108$ mit $1296$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 x^{\frac{2}{3}} + 7776 x^{\frac{1}{3}} + 139968) + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.18

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - (108 x^{\frac{2}{3}}) - (7776 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot 139968 + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.19

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.19.1

Mutltipliziere $108$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - (7776 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot 139968 + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.19.2

Mutltipliziere $7776$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 139968 + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.19.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $139968$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 4374 (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) - 46656$

Schritt 5.2.3.20

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 5.2.3.21

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 4374 (\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{9} + 8 \cdot 4) - 46656$

Schritt 5.2.3.22

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

Schritt 5.2.3.23

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 5.2.3.24

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.24.1

Faktorisiere $9$ aus $4374$ heraus.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 9 (486) (\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{9}) + 4374 \cdot 32 - 46656$

Schritt 5.2.3.24.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 9 \cdot (486 (\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{9})) + 4374 \cdot 32 - 46656$

Schritt 5.2.3.24.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 486 (8 x^{\frac{1}{3}}) + 4374 \cdot 32 - 46656$

Schritt 5.2.3.25

Mutltipliziere $8$ mit $486$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 4374 \cdot 32 - 46656$

Schritt 5.2.3.26

Mutltipliziere $4374$ mit $32$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 139968 - 46656$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 108 x^{\frac{2}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 108 x^{\frac{2}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 139968 - 46656$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $108 x^{\frac{2}{3}}$ von $108 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 + 0 - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 139968 - 46656$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 7776 x^{\frac{1}{3}} - 139968 + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 139968 - 46656$

Schritt 5.2.4.1.3

Addiere $- 139968$ und $139968$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 7776 x^{\frac{1}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 46656$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 7776 x^{\frac{1}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 46656 - 7776 x^{\frac{1}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} - 46656$

Schritt 5.2.4.1.5

Subtrahiere $46656$ von $46656$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 3888 x^{\frac{1}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x + 3888 x^{\frac{1}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 3888 x^{\frac{1}{3}} - 7776 x^{\frac{1}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $7776 x^{\frac{1}{3}}$ von $3888 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x - 3888 x^{\frac{1}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3888 x^{\frac{1}{3}} + 3888 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 3888 x^{\frac{1}{3}}$ und $3888 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Um $- \frac{2187 x^{2}}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} \cdot \frac{32}{32} + 4374 x - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $512$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2187 x^{2}}{16}$ mit $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2} \cdot 32}{16 \cdot 32} + 4374 x - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $32$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2} \cdot 32}{512} + 4374 x - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{3} - 2187 x^{2} \cdot 32}{512} + 4374 x - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $729 x^{2}$ aus $729 x^{3} - 2187 x^{2} \cdot 32$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.4.1.1

Faktorisiere $729 x^{2}$ aus $729 x^{3}$ heraus.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{2} (x) - 2187 x^{2} \cdot 32}{512} + 4374 x - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.4.1.2

Faktorisiere $729 x^{2}$ aus $- 2187 x^{2} \cdot 32$ heraus.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{2} (x) + 729 x^{2} (- 3 \cdot 32)}{512} + 4374 x - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.4.1.3

Faktorisiere $729 x^{2}$ aus $729 x^{2} (x) + 729 x^{2} (- 3 \cdot 32)$ heraus.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{2} (x - 3 \cdot 32)}{512} + 4374 x - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $32$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{2} (x - 96)}{512} + 4374 x - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.5

Um $4374 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{2} (x - 96)}{512} + 4374 x \cdot \frac{512}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.6

Kombiniere $4374 x$ und $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{2} (x - 96)}{512} + \frac{4374 x \cdot 512}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x^{2} (x - 96) + 4374 x \cdot 512}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.8.1

Faktorisiere $729 x$ aus $729 x^{2} (x - 96) + 4374 x \cdot 512$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.8.1.1

Faktorisiere $729 x$ aus $729 x^{2} (x - 96)$ heraus.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x (x - 96)) + 4374 x \cdot 512}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.8.1.2

Faktorisiere $729 x$ aus $4374 x \cdot 512$ heraus.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x (x - 96)) + 729 x (6 \cdot 512)}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.8.1.3

Faktorisiere $729 x$ aus $729 x (x (x - 96)) + 729 x (6 \cdot 512)$ heraus.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x (x - 96) + 6 \cdot 512)}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $512$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x (x - 96) + 3072)}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x \cdot x + x \cdot - 96 + 3072)}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.8.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x^{2} + x \cdot - 96 + 3072)}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.8.3.3

Bringe $- 96$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x^{2} - 96 x + 3072)}{512} - 46656)}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.9

Um $- 46656$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x^{2} - 96 x + 3072)}{512} - 46656 \cdot \frac{512}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.10

Kombiniere $- 46656$ und $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x^{2} - 96 x + 3072)}{512} + \frac{- 46656 \cdot 512}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 x (x^{2} - 96 x + 3072) - 46656 \cdot 512}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.12.1

Faktorisiere $729$ aus $729 x (x^{2} - 96 x + 3072) - 46656 \cdot 512$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.12.1.1

Faktorisiere $729$ aus $729 x (x^{2} - 96 x + 3072)$ heraus.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x (x^{2} - 96 x + 3072)) - 46656 \cdot 512}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.1.2

Faktorisiere $729$ aus $- 46656 \cdot 512$ heraus.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x (x^{2} - 96 x + 3072)) + 729 (- 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.1.3

Faktorisiere $729$ aus $729 (x (x^{2} - 96 x + 3072)) + 729 (- 64 \cdot 512)$ heraus.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x (x^{2} - 96 x + 3072) - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x \cdot x^{2} + x (- 96 x) + x \cdot 3072 - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1.12.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.1.12.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1.12.3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x \cdot x^{2} + x (- 96 x) + x \cdot 3072 - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x^{1 + 2} + x (- 96 x) + x \cdot 3072 - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x^{3} + x (- 96 x) + x \cdot 3072 - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x^{3} - 96 x \cdot x + x \cdot 3072 - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.3.3

Bringe $3072$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x^{3} - 96 x \cdot x + 3072 \cdot x - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.1.12.4.1

Bewege $x$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x^{3} - 96 (x \cdot x) + 3072 \cdot x - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x^{3} - 96 x^{2} + 3072 \cdot x - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x^{3} - 96 x^{2} + 3072 x - 64 \cdot 512)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.5

Mutltipliziere $- 64$ mit $512$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 (x^{3} - 96 x^{2} + 3072 x - 32768)}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.6

Schreibe $x^{3} - 96 x^{2} + 3072 x - 32768$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.1.12.6.1

Faktorisiere $x^{3} - 96 x^{2} + 3072 x - 32768$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.3.3.1.12.6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 32768, \pm 2, \pm 16384, \pm 4, \pm 8192, \pm 8, \pm 4096, \pm 16, \pm 2048, \pm 32, \pm 1024, \pm 64, \pm 512, \pm 128, \pm 256$

$q = \pm 1$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 32768, \pm 2, \pm 16384, \pm 4, \pm 8192, \pm 8, \pm 4096, \pm 16, \pm 2048, \pm 32, \pm 1024, \pm 64, \pm 512, \pm 128, \pm 256$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.3

Setze $32$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $32$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.3.3.1.12.6.1.3.1

Setze $32$ in das Polynom ein.

$32^{3} - 96 \cdot 32^{2} + 3072 \cdot 32 - 32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.3.2

Potenziere $32$ mit $3$ .

$32768 - 96 \cdot 32^{2} + 3072 \cdot 32 - 32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.3.3

Potenziere $32$ mit $2$ .

$32768 - 96 \cdot 1024 + 3072 \cdot 32 - 32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.3.4

Mutltipliziere $- 96$ mit $1024$ .

$32768 - 98304 + 3072 \cdot 32 - 32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.3.5

Subtrahiere $98304$ von $32768$ .

$- 65536 + 3072 \cdot 32 - 32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.3.6

Mutltipliziere $3072$ mit $32$ .

$- 65536 + 98304 - 32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.3.7

Addiere $- 65536$ und $98304$ .

$32768 - 32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.3.8

Subtrahiere $32768$ von $32768$ .

$0$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.4

Da $32$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 32$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 96 x^{2} + 3072 x - 32768}{x - 32}$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5

Dividiere $x^{3} - 96 x^{2} + 3072 x - 32768$ durch $x - 32$ .

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Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$32$

$x^{3}$

$96 x^{2}$

$3072 x$

$32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			+	$x^{3}$	-	$32 x^{2}$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 32 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 64 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$64 x$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$64 x$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$
					-	$64 x^{2}$	+	$2048 x$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 64 x^{2} + 2048 x$

				$x^{2}$	-	$64 x$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$
					+	$64 x^{2}$	-	$2048 x$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$64 x$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$
					+	$64 x^{2}$	-	$2048 x$
							+	$1024 x$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$64 x$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$
					+	$64 x^{2}$	-	$2048 x$
							+	$1024 x$	-	$32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $1024 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$64 x$	+	$1024$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$
					+	$64 x^{2}$	-	$2048 x$
							+	$1024 x$	-	$32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$64 x$	+	$1024$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$
					+	$64 x^{2}$	-	$2048 x$
							+	$1024 x$	-	$32768$
							+	$1024 x$	-	$32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $1024 x - 32768$

				$x^{2}$	-	$64 x$	+	$1024$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$
					+	$64 x^{2}$	-	$2048 x$
							+	$1024 x$	-	$32768$
							-	$1024 x$	+	$32768$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$64 x$	+	$1024$
$x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$96 x^{2}$	+	$3072 x$	-	$32768$
			-	$x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$64 x^{2}$	+	$3072 x$
					+	$64 x^{2}$	-	$2048 x$
							+	$1024 x$	-	$32768$
							-	$1024 x$	+	$32768$
										$0$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 64 x + 1024$

Schritt 5.3.3.1.12.6.1.6

Schreibe $x^{3} - 96 x^{2} + 3072 x - 32768$ als eine Menge von Faktoren.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 ((x - 32) (x^{2} - 64 x + 1024))}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.1.12.6.2.1

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 ((x - 32) (x^{2} - 64 x + 32^{2}))}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$64 x = 2 \cdot x \cdot 32$

Schritt 5.3.3.1.12.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 ((x - 32) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 32 + 32^{2}))}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 32$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 ((x - 32) {(x - 32)}^{2})}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.6.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 5.3.3.1.12.6.3.1

Potenziere $x - 32$ mit $1$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 ((x - 32) {(x - 32)}^{2})}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.6.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 {(x - 32)}^{1 + 2}}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.12.6.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{{(\frac{729 {(x - 32)}^{3}}{512})}^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.13

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.3.1.13.1

Wende die Produktregel auf $\frac{729 {(x - 32)}^{3}}{512}$ an.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{{(729 {(x - 32)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.13.2

Wende die Produktregel auf $729 {(x - 32)}^{3}$ an.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{729^{\frac{1}{3}} {({(x - 32)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.14.1

Schreibe $729$ als $9^{3}$ um.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{{(9^{3})}^{\frac{1}{3}} {({(x - 32)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9^{3 (\frac{1}{3})} {({(x - 32)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.14.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9^{3 (\frac{1}{3})} {({(x - 32)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.14.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 {({(x - 32)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.14.4

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 {({(x - 32)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.14.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 32)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.3.1.14.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 {(x - 32)}^{3 (\frac{1}{3})}}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.14.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.14.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 {(x - 32)}^{3 (\frac{1}{3})}}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.14.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 (x - 32)}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.14.6

Vereinfache.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 (x - 32)}{512^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1.15.1

Schreibe $512$ als $8^{3}$ um.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 (x - 32)}{{(8^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.15.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 (x - 32)}{8^{3 (\frac{1}{3})}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.15.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 (x - 32)}{8^{3 (\frac{1}{3})}}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.15.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 (x - 32)}{8}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.1.15.4

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{\frac{9 (x - 32)}{8}}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{9 (x - 32)}{8} \cdot \frac{1}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{9 (x - 32)}{8} \cdot \frac{1}{9} + 4)$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{x - 32}{8} + 4)$

Schritt 5.3.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{x - 32}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8})$

Schritt 5.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.5.1

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{x - 32}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8})$

Schritt 5.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{x - 32 + 4 \cdot 8}{8})$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{x - 32 + 32}{8})$

Schritt 5.3.6.2

Addiere $- 32$ und $32$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{x + 0}{8})$

Schritt 5.3.6.3

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{9} + 4)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{729 x^{3}}{512} - \frac{2187 x^{2}}{16} + 4374 x - 46656$