Algebra Beispiele

$\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}} = 2 x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}}}^{4} = {(2 x)}^{4}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}}$ als ${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(2 x)}^{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(2 x)}^{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(2 x)}^{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - 8 x^{2})}^{1} = {(2 x)}^{4}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$3 - 8 x^{2} = {(2 x)}^{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 x)}^{4}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$3 - 8 x^{2} = 2^{4} x^{4}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$3 - 8 x^{2} = 16 x^{4}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $16 x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 - 8 x^{2} - 16 x^{4} = 0$

Schritt 3.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 u^{2} - 8 u + 3$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 u^{2}$ heraus.

$- (16 u^{2}) - 8 u + 3 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 u$ heraus.

$- (16 u^{2}) - (8 u) + 3 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (16 u^{2}) - (8 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 u^{2}) - (8 u)$ heraus.

$- (16 u^{2} + 8 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 u^{2} + 8 u) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (16 u^{2} + 8 u - 3) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 u$ heraus.

$- (16 u^{2} + 8 (u) - 3) = 0$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Schreibe $8$ um als $- 4$ plus $12$

$- (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3) = 0$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1)) = 0$

Schritt 3.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$- ((4 u - 1) (4 u + 3)) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (4 u - 1) (4 u + 3) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$4 u + 3 = 0$

Schritt 3.5

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $4 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6

Setze $4 u + 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $4 u + 3$ gleich $0$ .

$4 u + 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $4 u + 3 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = - 3$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 3}{4}$

Schritt 3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{3}{4}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (4 u - 1) (4 u + 3) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{4}, - \frac{3}{4}$

Schritt 3.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{3}{4}$

Schritt 3.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 3.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 3.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 3.10.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.10.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.10.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.10.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 3.10.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 3.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 3.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - \frac{3}{4}$

Schritt 3.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Schritt 3.12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Schritt 3.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Schritt 3.12.3.1

Schreibe $- \frac{3}{4}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.12.3.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Schritt 3.12.3.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Schritt 3.12.3.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.12.3.1.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Schritt 3.12.3.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Schritt 3.12.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Schritt 3.12.3.3

Kombiniere $\frac{i}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.13

Die Lösung von $- 16 x^{4} - 8 x^{2} + 3 = 0$ ist $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$