Algebra Beispiele

$- 4 (x - 3) (x - 1)$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 (x - 3) (x - 1)$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 4 x - 4 \cdot - 3) (x - 1)$

Schritt 1.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$(- 4 x + 12) (x - 1)$

Schritt 1.1.1.1.3

Multipliziere $(- 4 x + 12) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x (x - 1) + 12 (x - 1)$

Schritt 1.1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 + 12 (x - 1)$

Schritt 1.1.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 + 12 x + 12 \cdot - 1$

Schritt 1.1.1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 12 x + 12 \cdot - 1$

Schritt 1.1.1.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 12 x + 12 \cdot - 1$

Schritt 1.1.1.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- 4 x^{2} + 4 x + 12 x + 12 \cdot - 1$

Schritt 1.1.1.1.4.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$- 4 x^{2} + 4 x + 12 x - 12$

Schritt 1.1.1.1.4.2

Addiere $4 x$ und $12 x$ .

$- 4 x^{2} + 16 x - 12$

Schritt 1.1.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = 16$

$c = - 12$

Schritt 1.1.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{16}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (- 4)}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{8}{- 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $- 4$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{4 (2)}{- 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.1.1.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.1.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 12 - \frac{16^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$e = - 12 - \frac{256}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = - 12 - \frac{256}{- 16}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3

Dividiere $256$ durch $- 16$ .

$e = - 12 - - 16$

Schritt 1.1.1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$e = - 12 + 16$

Schritt 1.1.1.5.2.2

Addiere $- 12$ und $16$ .

$e = 4$

Schritt 1.1.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(x - 2)}^{2} + 4$ ein.

$- 4 {(x - 2)}^{2} + 4$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 4 {(x - 2)}^{2} + 4$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$h = 2$

$k = 4$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 4)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{16}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, \frac{63}{16})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 2$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{65}{16}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(2, 4)$

Brennpunkt: $(2, \frac{63}{16})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = \frac{65}{16}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(2, 4)$

Brennpunkt: $(2, \frac{63}{16})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = \frac{65}{16}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - 4 ((1) - 3) ((1) - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (1) = - 4 \cdot (- 2 ((1) - 1))$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$f (1) = 8 ((1) - 1)$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = 8 \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 4 ((0) - 3) ((0) - 1)$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f (0) = - 4 \cdot (- 3 ((0) - 1))$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$f (0) = 12 ((0) - 1)$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = 12 \cdot - 1$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f (0) = - 12$

Schritt 2.5.5

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $- 12$ .

$y = - 12$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - 4 ((3) - 3) ((3) - 1)$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (3) = - 4 \cdot (0 ((3) - 1))$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (3) = 0 ((3) - 1)$

Schritt 2.8.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (3) = 0 \cdot 2$

Schritt 2.8.4

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$f (3) = 0$

Schritt 2.8.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = - 4 ((4) - 3) ((4) - 1)$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (4) = - 4 \cdot (1 ((4) - 1))$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (4) = - 4 ((4) - 1)$

Schritt 2.11.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f (4) = - 4 \cdot 3$

Schritt 2.11.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f (4) = - 12$

Schritt 2.11.5

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $- 12$ .

$y = - 12$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 12 \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ 4 & - 12 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(2, 4)$

Brennpunkt: $(2, \frac{63}{16})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = \frac{65}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 12 \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ 4 & - 12 \end{array}$

Schritt 4