Algebra Beispiele

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = \sqrt[4]{x^{3}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt[4]{x^{3}} = {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$

Schritt 2

Subtrahiere ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[4]{x^{3}} - {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[4]{x^{3}} - x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[4]{x^{3}} - x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[4]{x^{3}} - x^{3} = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $\sqrt[4]{x^{3}} - x^{3}$ .

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{3}{4}} - x^{3} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x^{\frac{3}{4}}$ aus $x^{\frac{3}{4}} - x^{3}$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} \cdot 1 - x^{3} = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x^{\frac{3}{4}}$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x^{\frac{3}{4}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{4}} (- x^{\frac{9}{4}}) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $x^{\frac{3}{4}}$ aus $x^{\frac{3}{4}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{4}} (- x^{\frac{9}{4}})$ heraus.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{9}{4}}) = 0$

Schritt 4.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{\frac{3}{4}} (1^{3} - x^{\frac{9}{4}}) = 0$

Schritt 4.4

Schreibe $x^{\frac{9}{4}}$ als ${(x^{\frac{3}{4}})}^{3}$ um.

$x^{\frac{3}{4}} (1^{3} - {(x^{\frac{3}{4}})}^{3}) = 0$

Schritt 4.5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = x^{\frac{3}{4}}$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{3}{4}}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6

Faktorisiere.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{\frac{3}{4}} ((1^{3} - x^{\frac{3}{4}}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.2

Schreibe $x^{\frac{3}{4}}$ als ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ um.

$x^{\frac{3}{4}} ((1^{3} - {(x^{\frac{1}{4}})}^{3}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.3

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1^{2} + 1 x^{\frac{1}{4}} + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + 1 x^{\frac{1}{4}} + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{4}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 4.6.1.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4} \cdot 2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.1.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.4.4

Stelle die Terme um.

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.1.5

Mutltipliziere $x^{\frac{3}{4}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1^{2} + x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Schritt 4.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1^{2} + x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2}) = 0$

Schritt 4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2}) = 0$

Schritt 4.7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 4.7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{4} \cdot 2}) = 0$

Schritt 4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2 (2)} \cdot 2}) = 0$

Schritt 4.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 2}) = 0$

Schritt 4.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}}) = 0$

Schritt 4.8

Stelle die Terme um.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 0$

$1 - x^{\frac{1}{4}} = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

$x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Schritt 6

Setze $x^{\frac{3}{4}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{\frac{3}{4}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{\frac{3}{4}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Vereinfache $0^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 0^{4}$

Schritt 6.2.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Setze $1 - x^{\frac{1}{4}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $1 - x^{\frac{1}{4}}$ gleich $0$ .

$1 - x^{\frac{1}{4}} = 0$

Schritt 7.2

Löse $1 - x^{\frac{1}{4}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{\frac{1}{4}} = - 1$

Schritt 7.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{1}{4}}$ an.

${(- 1)}^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 7.2.3.1.1.3

Mutltipliziere ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ mit $1$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 7.2.3.1.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 7.2.3.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 7.2.3.1.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 7.2.3.1.1.5

Vereinfache.

$x = {(- 1)}^{4}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$x = 1$

Schritt 8

Setze $x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{4}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$x^{\frac{1}{4}} {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 1$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x^{\frac{1}{4}}$ durch $u$ .

$(u) {(u)}^{2} + 1 = 0$

Schritt 8.2.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.2.3.1

Multipliziere $u$ mit ${(u)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.3.1.1

Mutltipliziere $u$ mit ${(u)}^{2}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u^{1} {(u)}^{2} + 1 = 0$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u^{1 + 2} + 1 = 0$

Schritt 8.2.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u^{3} + 1 = 0$

Schritt 8.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{3} = - 1$

Schritt 8.2.3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{3} + 1 = 0$

Schritt 8.2.3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$u^{3} + 1^{3} = 0$

Schritt 8.2.3.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$(u + 1) (u^{2} - u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 8.2.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(u + 1) (u^{2} - u + 1^{2}) = 0$

Schritt 8.2.3.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0$

Schritt 8.2.3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

$u^{2} - u + 1 = 0$

Schritt 8.2.3.6

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.2.3.6.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 8.2.3.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 8.2.3.7

Setze $u^{2} - u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.2.3.7.1

Setze $u^{2} - u + 1$ gleich $0$ .

$u^{2} - u + 1 = 0$

Schritt 8.2.3.7.2

Löse $u^{2} - u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 8.2.3.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.2.3.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.7.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 8.2.3.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.7.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{4}} = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.5

Löse nach $x^{\frac{1}{4}} = - 1$ auf für $x$ .

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Schritt 8.2.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 8.2.5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 8.2.5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 8.2.5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 8.2.5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 8.2.5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1)}^{4}$

Schritt 8.2.5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 1)}^{4}$

Schritt 8.2.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.5.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$x = 1$

Schritt 8.2.6

Löse nach $x^{\frac{1}{4}} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 8.2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.2.1

Vereinfache ${(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x = \frac{1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1 + 4 \cdot 1^{3} (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1 + 4 \cdot 1 (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + 4 (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.6

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.7

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.8

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{1}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.9

Multipliziere $6 (- 1 \cdot 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.9.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.11

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.12

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i^{2} \cdot i {\sqrt{3}}^{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.13

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- 1 \cdot i {\sqrt{3}}^{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.14

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i {\sqrt{3}}^{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.15

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i \sqrt{3^{3}}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.16

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i \sqrt{27}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.17

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.17.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i \sqrt{9 (3)}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.17.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.18

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i (3 \sqrt{3})) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.19

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- 3 i \sqrt{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.20

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 (i \sqrt{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.21

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.22

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.22.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.22.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.22.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.23

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{4}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{2}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.25

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 9}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.1

Subtrahiere $18$ von $1$ .

$x = \frac{4 i \sqrt{3} - 17 - 12 i \sqrt{3} + 9}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.2

Subtrahiere $12 i \sqrt{3}$ von $4 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 8 i \sqrt{3} - 17 + 9}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.3.1

Addiere $- 17$ und $9$ .

$x = \frac{- 8 i \sqrt{3} - 8}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.3.2

Stelle $- 8 i \sqrt{3}$ und $- 8$ um.

$x = \frac{- 8 - 8 i \sqrt{3}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8 - 8 i \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$x = \frac{8 (- 1) - 8 i \sqrt{3}}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.4.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{8 (- 1) + 8 (- i \sqrt{3})}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.4.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 1) + 8 (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{8 (- 1 - i \sqrt{3})}{16}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.4.4.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x = \frac{8 (- 1 - i \sqrt{3})}{8 \cdot 2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{8 (- 1 - i \sqrt{3})}{8 \cdot 2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 (1) - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1) - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.7

Löse nach $x^{\frac{1}{4}} = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 8.2.7.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.7.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.7.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 8.2.7.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 8.2.7.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.7.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.7.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.7.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.7.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 8.2.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.7.2.2.1

Vereinfache ${(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$ .

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Schritt 8.2.7.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.7.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x = \frac{1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1 + 4 \cdot 1^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1 + 4 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + 4 (- i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{1 - 4 (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.7.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.9

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.11

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{1}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.11.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.12

Multipliziere $6 (- 1 \cdot 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.12.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.14

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.14.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 ({(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.14.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 ({(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.16

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.18

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- - i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (1 i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.20

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.21

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i \sqrt{3^{3}}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.22

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i \sqrt{27}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.23

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.23.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i \sqrt{9 (3)}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.23.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.24

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i (3 \sqrt{3})) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.25

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (3 \cdot i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.26

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 (i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.27

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.27.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(- i)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.27.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} i^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.28

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 1 i^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.29

Mutltipliziere $i^{4}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.30

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.30.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.30.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.30.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.31

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{4}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{2}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.1.33

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 9}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.1

Subtrahiere $18$ von $1$ .

$x = \frac{- 4 i \sqrt{3} - 17 + 12 i \sqrt{3} + 9}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.2

Addiere $- 4 i \sqrt{3}$ und $12 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{8 i \sqrt{3} - 17 + 9}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.3.1

Addiere $- 17$ und $9$ .

$x = \frac{8 i \sqrt{3} - 8}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.3.2

Stelle $8 i \sqrt{3}$ und $- 8$ um.

$x = \frac{- 8 + 8 i \sqrt{3}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8 + 8 i \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$x = \frac{8 \cdot - 1 + 8 i \sqrt{3}}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.4.2

Faktorisiere $8$ aus $8 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{8 \cdot - 1 + 8 (i \sqrt{3})}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.4.3

Faktorisiere $8$ aus $8 \cdot - 1 + 8 (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{8 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{16}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.4.4.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x = \frac{8 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{8 (2)}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{8 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{8 \cdot 2}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 (1) + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1) - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.2.7.2.2.1.3.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Setze $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1$ gleich $0$ .

$x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Schritt 9.2

Löse $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{3}{4}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$x^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{3}{4}})}^{2} + 1$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x^{\frac{3}{4}}$ durch $u$ .

$(u) {(u)}^{2} + 1 = 0$

Schritt 9.2.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.2.3.1

Multipliziere $u$ mit ${(u)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.3.1.1

Mutltipliziere $u$ mit ${(u)}^{2}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u^{1} {(u)}^{2} + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u^{1 + 2} + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u^{3} + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{3} = - 1$

Schritt 9.2.3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{3} + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$u^{3} + 1^{3} = 0$

Schritt 9.2.3.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$(u + 1) (u^{2} - u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 9.2.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(u + 1) (u^{2} - u + 1^{2}) = 0$

Schritt 9.2.3.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0$

Schritt 9.2.3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

$u^{2} - u + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.6

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.2.3.6.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 9.2.3.7

Setze $u^{2} - u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.2.3.7.1

Setze $u^{2} - u + 1$ gleich $0$ .

$u^{2} - u + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.7.2

Löse $u^{2} - u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 9.2.3.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9.2.3.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.7.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 9.2.3.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.7.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.2.3.7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.2.3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.2.4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{3}{4}} = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.2.5

Löse nach $x^{\frac{3}{4}} = - 1$ auf für $x$ .

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Schritt 9.2.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.2.5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.2.5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.5.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.5.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.5.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.5.2.2.1

Vereinfache ${(- 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.2.5.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.5.2.2.1.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.5.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 9.2.5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 9.2.5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = {(- 1)}^{4}$

Schritt 9.2.5.2.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$x = 1$

Schritt 9.2.6

Löse nach $x^{\frac{3}{4}} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 9.2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.6.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.6.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.6.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.6.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.7

Löse nach $x^{\frac{3}{4}} = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 9.2.7.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.7.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.7.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.2.7.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.2.7.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.7.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.7.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.7.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.7.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.7.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.7.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.7.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.7.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1, \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}, \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}, \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$