Algebra Beispiele

$\frac{2 \tan (\frac{π}{6})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{6})}$

Schritt 1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{6})}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan (\frac{π}{6})$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(1 + \tan (\frac{π}{6})) (1 - \tan (\frac{π}{6}))}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \tan (\frac{π}{6}))}$

Schritt 2.3.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (3 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{1}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 0}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.4

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (2)}{9}}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{3}$

Dezimalform:

$1.73205080 \dots$