Algebra Beispiele

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Schritt 1

Da $x = r \cos (θ)$ ist, ersetze $x$ durch $r \cos (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Schritt 2

Da $y = r \sin (θ)$ ist, ersetze $y$ durch $r \sin (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} = 25$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe ${(r \cos (θ) - 3)}^{2}$ als $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ um.

$(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - 3) - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.3.1.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.3.1.1.1

Bewege $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.3.1.2

Multipliziere $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 3.2.1.3.1.2.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.3.1.2.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.3.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 \cdot (r \cos (θ)) - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 r \cos (θ) - 3 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.3.2

Subtrahiere $3 r \cos (θ)$ von $- 3 r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe ${(r \sin (θ) + 4)}^{2}$ als $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ um.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + (r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ) + 4) + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.6.1.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.6.1.1.1

Bewege $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.6.1.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.6.1.2

Multipliziere $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Schritt 3.2.1.6.1.2.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.6.1.2.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.6.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.6.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.6.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 \cdot (r \sin (θ)) + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.6.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \sin (θ) + 4 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Schritt 3.2.1.6.2

Addiere $4 r \sin (θ)$ und $4 r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \cos^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \sin^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Schritt 3.2.3

Ordne Terme um.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Schritt 3.2.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $r^{2}$ mit $1$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $9$ und $16$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25 = 0$

Schritt 3.2.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25$ .

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Schritt 3.2.5.3.1

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 0 = 0$

Schritt 3.2.5.3.2

Addiere $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ und $0$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $r$ aus $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{2}$ heraus.

$r \cdot r - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $r$ aus $- 6 r \cos (θ)$ heraus.

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + 8 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $r$ aus $8 r \sin (θ)$ heraus.

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $r$ aus $r \cdot r + r (- 6 \cos (θ))$ heraus.

$r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $r$ aus $r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ))$ heraus.

$r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r = 0$

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Schritt 3.5

Setze $r$ gleich $0$ .

$r = 0$

Schritt 3.6

Setze $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ gleich $0$ .

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Schritt 3.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $r$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $6 \cos (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r + 8 \sin (θ) = 6 \cos (θ)$

Schritt 3.6.2.2

Subtrahiere $8 \sin (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$ wahr machen.

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$