Algebra Beispiele

$y - 5 = f (\frac{x}{- 1})$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $f (\frac{x}{- 1})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 5 - f \frac{x}{- 1} = 0$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$y - 5 - f (- 1 \cdot x) = 0$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$y - 5 - f (- x) = 0$

Schritt 1.1.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y - 5 - 1 \cdot - 1 f x = 0$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 5 + 1 f x = 0$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $f$ mit $1$ .

$y - 5 + f x = 0$

Schritt 1.1.3

Bewege $- 5$ .

$y + f x - 5 = 0$

Schritt 1.1.4

Stelle $y$ und $f x$ um.

$f x + y - 5 = 0$

Schritt 1.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$f x + y = 5$

Schritt 1.3

Teile jeden Term durch $5$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{5}{5}$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{5^{1} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{5 + 5^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{5 + 5}$

Schritt 5.3.3

Addiere $5$ und $5$ .

$\sqrt{10}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\sqrt{5}, 0)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \sqrt{5}, 0)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\sqrt{10}, 0)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \sqrt{10}, 0)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.3.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{5 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{1}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{5 + 5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.1.3

Addiere $5$ und $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige $\sqrt{10}$ und $\sqrt{5}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\sqrt{\frac{10}{5}}$

Schritt 8.3.3

Dividiere $10$ durch $5$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{1}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 9.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{10}$ heraus.

$\frac{5 (\sqrt{10})}{10}$

Schritt 9.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Schritt 9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Schritt 9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Schritt 11

Vereinfache $1 \cdot x + 0$ .

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Schritt 11.1

Addiere $1 \cdot x$ und $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = x$

Schritt 12

Vereinfache $- 1 \cdot x + 0$ .

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Schritt 12.1

Addiere $- 1 \cdot x$ und $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Schritt 12.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = x, y = - x$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

Scheitelpunkte: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Brennpunkte: $(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Exzentrizität: $\sqrt{2}$

Fokaler Parameter: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Asymptoten: $y = x$ , $y = - x$

Schritt 15