Algebra Beispiele

$x^{2} - y^{2} = 1$

Schritt 1

Da $x = r \cos (θ)$ ist, ersetze $x$ durch $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - y^{2} = 1$

Schritt 2

Da $y = r \sin (θ)$ ist, ersetze $y$ durch $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2} = 1$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache ${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r \cos (θ)$ und $b = r \sin (θ)$ .

$(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - (r \sin (θ))) = 1$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere $(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - r \sin (θ))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ))$ .

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Schritt 3.1.1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $r \cos (θ) (- r \sin (θ))$ und $r \sin (θ) (r \cos (θ))$ neu an.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) - r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.1.2

Addiere $- r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ und $r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + 0 + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.1.3

Addiere $r \cos (θ) (r \cos (θ))$ und $0$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.3.2.1.1

Bewege $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Multipliziere $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.2.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r \sin (θ) r \sin (θ) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.4

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.3.2.4.1

Bewege $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - (r \cdot r) \sin (θ) \sin (θ) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.4.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin (θ) \sin (θ) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.5

Multipliziere $- r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.5.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.5.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} = 1$

Schritt 3.1.1.3.2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) = 1$

Schritt 3.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ)$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $r^{2}$ aus $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ))$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ) - 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

Schritt 3.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (θ)$ und $b = \sin (θ)$ .

$r^{2} ((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))) = 1$

Schritt 3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ durch $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ durch $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ) + \sin (θ)$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ) - \sin (θ)$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $r^{2}$ durch $1$ .

$r^{2} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Schritt 3.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ um.

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Schritt 3.6.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ mit $\frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}} \cdot \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Schritt 3.6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.4.1

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Schritt 3.6.4.2

Potenziere $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Schritt 3.6.4.3

Potenziere $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} {\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1}}$

Schritt 3.6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}}$

Schritt 3.6.4.6

Schreibe ${\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}$ als $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ um.

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Schritt 3.6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ als ${((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{({((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{1}}$

Schritt 3.6.4.6.5

Vereinfache.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Schritt 3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Schritt 3.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Schritt 3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$