Algebra Beispiele

$f (x) = (x + 5) (4 x + 1) (x + 5) (x^{2} + 9)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (x + 5) (4 x + 1) (x + 5) (x^{2} + 9)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(x + 5) (4 x + 1) (x + 5) (x^{2} + 9) = 0$ um.

$(x + 5) (4 x + 1) (x + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$4 x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 1.2.4

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 1.2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.5.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.5.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 1.2.5.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 1.2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 5) (4 x + 1) (x + 5) (x^{2} + 9) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, - \frac{1}{4}, 3 i, - 3 i$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 5, 0), (- \frac{1}{4}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = ((0) + 5) (4 (0) + 1) ((0) + 5) ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (0 + 5) (4 (0) + 1) ((0) + 5) ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0 + 5) (4 (0) + 1) (0 + 5) ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = (0 + 5) (4 (0) + 1) (0 + 5) (0^{2} + 9)$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = ((0) + 5) (4 (0) + 1) ((0) + 5) ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $((0) + 5) (4 (0) + 1) ((0) + 5) ({(0)}^{2} + 9)$ .

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Schritt 2.2.5.1

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5 (4 (0) + 1) ((0) + 5) ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 5 (0 + 1) ((0) + 5) ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2.5.3

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 5 \cdot 1 ((0) + 5) ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$y = 5 ((0) + 5) ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2.5.5

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5 \cdot 5 ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2.5.6

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = 25 ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2.5.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 25 (0 + 9)$

Schritt 2.2.5.8

Addiere $0$ und $9$ .

$y = 25 \cdot 9$

Schritt 2.2.5.9

Mutltipliziere $25$ mit $9$ .

$y = 225$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 225)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 5, 0), (- \frac{1}{4}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 225)$

Schritt 4