Algebra Beispiele

$y = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = {(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}} = x$ um.

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}} = x$

Schritt 2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2^{y} - 3)}^{1} = x^{4}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache.

$2^{y} - 3 = x^{4}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{y} = x^{4} + 3$

Schritt 2.4.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{y}) = \ln (x^{4} + 3)$

Schritt 2.4.3

Zerlege $\ln (2^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 3)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 3)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.3.1.2

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x} - 3 + 3)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2^{x} - 3 + 3$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $2^{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.4

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(2^{\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(2^{\log_{2} (x^{4} + 3)} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4} + 3 - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{4} + 3 - 3$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4} + 0)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.3.4.1.2

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 4.3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$