Algebra Beispiele

$8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = x$ um.

$8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = x$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = x$ durch $8$ .

$\frac{8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere ${(y + 9)}^{\frac{1}{7}}$ durch $1$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = \frac{x}{8}$

Schritt 2.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $7$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache ${({(y + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Schritt 2.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 9)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Schritt 2.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 9)}^{1} = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

$y + 9 = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{x}{8})}^{7}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{8}$ an.

$y + 9 = \frac{x^{7}}{8^{7}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Potenziere $8$ mit $7$ .

$y + 9 = \frac{x^{7}}{2097152}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{{(8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{2097152} - 9$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$ an.

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{8^{7} {({(x + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{2097152} - 9$

Schritt 4.2.3.1.2

Potenziere $8$ mit $7$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 {({(x + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{2097152} - 9$

Schritt 4.2.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 {(x + 9)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{2097152} - 9$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.2.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 {(x + 9)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{2097152} - 9$

Schritt 4.2.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 9)}{2097152} - 9$

Schritt 4.2.3.1.4

Vereinfache.

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 9)}{2097152} - 9$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2097152$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 9)}{2097152} - 9$

Schritt 4.2.3.2.2

Dividiere $x + 9$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = x + 9 - 9$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 9 - 9$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 {((\frac{x^{7}}{2097152} - 9) + 9)}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\frac{x^{7}}{2097152} - 9) + 9$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 {(\frac{x^{7}}{2097152} + 0)}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 4.3.3.1.2

Addiere $\frac{x^{7}}{2097152}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 {(\frac{x^{7}}{2097152})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 4.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{7}}{2097152}$ an.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{{(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x^{7 (\frac{1}{7})}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 4.3.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.3.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x^{7 (\frac{1}{7})}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 4.3.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.5.1

Schreibe $2097152$ als $8^{7}$ um.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{{(8^{7})}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8^{7 (\frac{1}{7})}})$

Schritt 4.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8^{7 (\frac{1}{7})}})$

Schritt 4.3.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 4.3.5.4

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 4.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$