Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ als Gleichung.

$y = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = x$ um.

$\frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = 9 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = 9 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}} = 9 x$

Schritt 3.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(9 x)}^{5}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache ${({(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Schritt 3.5.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{7} + 10)}^{1} = {(9 x)}^{5}$

Schritt 3.5.1.1.2

Vereinfache.

$y^{7} + 10 = {(9 x)}^{5}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(9 x)}^{5}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $9 x$ an.

$y^{7} + 10 = 9^{5} x^{5}$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $9$ mit $5$ .

$y^{7} + 10 = 59049 x^{5}$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{7} = 59049 x^{5} - 10$

Schritt 3.6.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 {(\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9})}^{5} - 10}$

Schritt 5.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ an.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{{({(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{9^{5}}) - 10}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{9^{5}}) - 10}$

Schritt 5.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{9^{5}}) - 10}$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{9^{5}}) - 10}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{9^{5}}) - 10}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Potenziere $9$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{59049}) - 10}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $59049$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{59049}) - 10}$

Schritt 5.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7} + 10 - 10}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.5.3.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Schritt 5.2.5.3.2

Addiere $x^{7}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Schritt 5.2.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10})}^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe ${\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}}^{7}$ als $59049 x^{5} - 10$ um.

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Schritt 5.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$ als ${(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{7}})}^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{7}{7}} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{7}{7}} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{((59049 x^{5} - 10) + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(59049 x^{5} - 10 + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $59049 x^{5} - 10 + 10$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(59049 x^{5} + 0)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.2.2

Addiere $59049 x^{5}$ und $0$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(59049 x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Produktregel auf $59049 x^{5}$ an.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{59049^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe $59049$ als $9^{5}$ um.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(9^{5})}^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.7

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Schritt 5.3.3.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 5.3.3.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x^{5 (\frac{1}{5})}}{9}$

Schritt 5.3.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x^{5 (\frac{1}{5})}}{9}$

Schritt 5.3.3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinfache.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$