Algebra Beispiele

$- x^{2} - 64 \leq - 16 x$

Schritt 1

Addiere $16 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} - 64 + 16 x \leq 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} - 64 + 16 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} - 64 + 16 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Bewege $- 64$ .

$- x^{2} + 16 x - 64 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 16 x - 64 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $16 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 64 = 0$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 16 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 16 x) - 1 (64)$ heraus.

$- (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$- (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Schritt 3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 8$ .

$- {(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 8)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 8)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 8)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere ${(x - 8)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 8)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 5

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 6

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 8$

$x > 8$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(0)}^{2} - 64 \leq - 16 \cdot 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 64$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(10)}^{2} - 64 \leq - 16 \cdot 10$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 164$ ist kleiner als die rechte Seite $- 160$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 8$ Wahr

$x > 8$ Wahr

$x < 8$ Wahr

$x > 8$ Wahr

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 8$ oder $x \geq 8$

Schritt 10

Vereine die Intervalle.

Alle reellen Zahlen

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Schritt 12