Algebra Beispiele

$2 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{4}{3}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ um.

$2 {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 u^{2} - u - 6 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$2 u^{2} - (u) - 6 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 1$ um als $3$ plus $- 4$

$2 u^{2} + (3 - 4) u - 6 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 3 u - 4 u - 6 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} + 3 u) - 4 u - 6 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u + 3) - 2 (2 u + 3) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 2) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(2 x^{\frac{2}{3}} + 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $2 x^{\frac{2}{3}} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 x^{\frac{2}{3}} + 3$ gleich $0$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{\frac{2}{3}} = - 3$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{2}{3}}$ an.

$2^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.3

Vereinfache.

$2^{\frac{3}{2}} x = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.4

Stelle die Faktoren in $2^{\frac{3}{2}} x$ um.

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ durch $2^{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ durch $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ durch $2^{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ durch $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Setze $x^{\frac{2}{3}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{\frac{2}{3}} - 2$ gleich $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{2}{3}} = 2$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x^{\frac{2}{3}} + 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $2 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$ nicht erfüllen.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7