Algebra Beispiele

$\frac{x - 6}{- 3 x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 6}{- 3 y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 6}{- 3 y} = x$ um.

$\frac{y - 6}{- 3 y} = x$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y - 6}{3 y} = x$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 y, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 y$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y - 6}{3 y} = x$ mit $3 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y - 6}{3 y} = x$ mit $3 y$ .

$- \frac{y - 6}{3 y} (3 y) = x (3 y)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y - 6}{3 y}$ in den Zähler.

$\frac{- (y - 6)}{3 y} (3 y) = x (3 y)$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (y - 6)}{3 y} (3 y) = x (3 y)$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- (y - 6) = x (3 y)$

Schritt 2.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y - - 6 = x (3 y)$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$- y + 6 = x (3 y)$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y + 6 = 3 x y$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $3 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y + 6 - 3 x y = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y - 3 x y = - 6$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $y$ aus $- y - 3 x y$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \cdot - 1 - 3 x y = - 6$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 x y$ heraus.

$y \cdot - 1 + y (- 3 x) = - 6$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 1 + y (- 3 x)$ heraus.

$y (- 1 - 3 x) = - 6$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- 1 - 3 x) = - 6$ durch $- 1 - 3 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- 1 - 3 x) = - 6$ durch $- 1 - 3 x$ .

$\frac{y (- 1 - 3 x)}{- 1 - 3 x} = \frac{- 6}{- 1 - 3 x}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 - 3 x$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 1 - 3 x)}{- 1 - 3 x} = \frac{- 6}{- 1 - 3 x}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 6}{- 1 - 3 x}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6}{- 1 - 3 x}$

Schritt 2.5.4.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = - \frac{6}{- 1 (1) - 3 x}$

Schritt 2.5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = - \frac{6}{- 1 (1) - (3 x)}$

Schritt 2.5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (3 x)$ heraus.

$y = - \frac{6}{- 1 (1 + 3 x)}$

Schritt 2.5.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.3.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{6}{1 + 3 x}$

Schritt 2.5.4.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{6}{1 + 3 x}$

Schritt 2.5.4.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{6}{1 + 3 x}$ mit $1$ .

$y = \frac{6}{1 + 3 x}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{6}{1 + 3 x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{6}{1 + 3 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 6}{- 3 x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{1 + 3 (\frac{x - 6}{- 3 x})}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{1 + 3 (\frac{x - 6}{3 (- x)})}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{1 + 3 (\frac{x - 6}{3 (- x)})}$

Schritt 4.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{1 + \frac{x - 6}{- x}}$

Schritt 4.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{1 - \frac{x - 6}{x}}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{\frac{x}{x} - \frac{x - 6}{x}}$

Schritt 4.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{\frac{x - (x - 6)}{x}}$

Schritt 4.2.3.5

Schreibe $\frac{x - (x - 6)}{x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{\frac{x - x + 6}{x}}$

Schritt 4.2.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{\frac{x - x + 6}{x}}$

Schritt 4.2.3.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{\frac{0 + 6}{x}}$

Schritt 4.2.3.5.4

Addiere $0$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = 6 (\frac{x}{6})$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = 6 (\frac{x}{6})$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{- 3 x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{6}{1 + 3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{(\frac{6}{1 + 3 x}) - 6}{- 3 \frac{6}{1 + 3 x}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(\frac{6}{1 + 3 x}) - 6$ und $- 3$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{6}{1 + 3 x}$ heraus.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{3 (\frac{2}{1 + 3 x}) - 6}{- 3 \frac{6}{1 + 3 x}}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{3 (\frac{2}{1 + 3 x}) + 3 \cdot - 2}{- 3 \frac{6}{1 + 3 x}}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{2}{1 + 3 x} + 3 \cdot - 2$ heraus.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{3 (\frac{2}{1 + 3 x} - 2)}{- 3 \frac{6}{1 + 3 x}}$

Schritt 4.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \frac{6}{1 + 3 x}$ heraus.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{3 (\frac{2}{1 + 3 x} - 2)}{3 (- \frac{6}{1 + 3 x})}$

Schritt 4.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{3 (\frac{2}{1 + 3 x} - 2)}{3 (- \frac{6}{1 + 3 x})}$

Schritt 4.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{\frac{2}{1 + 3 x} - 2}{- \frac{6}{1 + 3 x}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = (\frac{2}{1 + 3 x} - 2) (- \frac{1 + 3 x}{6})$

Schritt 4.3.5

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + 3 x}{1 + 3 x}$ .

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = (\frac{2}{1 + 3 x} - 2 \cdot \frac{1 + 3 x}{1 + 3 x}) (- \frac{1 + 3 x}{6})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.6.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1 + 3 x}{1 + 3 x}$ .

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = (\frac{2}{1 + 3 x} + \frac{- 2 (1 + 3 x)}{1 + 3 x}) (- \frac{1 + 3 x}{6})$

Schritt 4.3.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{2 - 2 (1 + 3 x)}{1 + 3 x} \cdot (- \frac{1 + 3 x}{6})$

Schritt 4.3.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = - \frac{2 - 2 (1 + 3 x)}{1 + 3 x} \cdot \frac{1 + 3 x}{6}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 3 x$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 - 2 (1 + 3 x)}{1 + 3 x}$ in den Zähler.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{- (2 - 2 (1 + 3 x))}{1 + 3 x} \cdot \frac{1 + 3 x}{6}$

Schritt 4.3.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = \frac{- (2 - 2 (1 + 3 x))}{1 + 3 x} \cdot \frac{1 + 3 x}{6}$

Schritt 4.3.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = - (2 - 2 (1 + 3 x)) \frac{1}{6}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = - (2 - 2 \cdot 1 - 2 (3 x)) \frac{1}{6}$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = - (2 - 2 - 2 (3 x)) \frac{1}{6}$

Schritt 4.3.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = - (2 - 2 - 6 x) \frac{1}{6}$

Schritt 4.3.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.8.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = - (0 - 6 x) \frac{1}{6}$

Schritt 4.3.8.2

Subtrahiere $6 x$ von $0$ .

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = 6 x \frac{1}{6}$

Schritt 4.3.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.8.3.1

Faktorisiere $6$ aus $- (- 6 x)$ heraus.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = 6 (x) (\frac{1}{6})$

Schritt 4.3.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = 6 (x) (\frac{1}{6})$

Schritt 4.3.8.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = x$

Schritt 4.3.8.4

Multipliziere.

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Schritt 4.3.8.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = 1 x$

Schritt 4.3.8.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{6}{1 + 3 x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{6}{1 + 3 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x - 6}{- 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6}{1 + 3 x}$