Algebra Beispiele

$4 x^{2} - 12 \geq - 4 x - 9$

Schritt 1

Addiere $4 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x^{2} - 12 + 4 x \geq - 9$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 9$

Schritt 3

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 12 + 4 x + 9 = 0$

Schritt 4

Addiere $- 12$ und $9$ .

$4 x^{2} + 4 x - 3 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$4 x^{2} + 4 (x) - 3 = 0$

Schritt 5.1.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$4 x^{2} + (- 2 + 6) x - 3 = 0$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x + 6 x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{2} - 2 x) + 6 x - 3 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (2 x + 3) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Schritt 7

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Schritt 8.2

Löse $2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (2 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(- 4)}^{2} - 12 \geq - 4 \cdot - 4 - 9$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $52$ ist größer als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(0)}^{2} - 12 \geq - 4 \cdot 0 - 9$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 12$ ist kleiner als die rechte Seite $- 9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(3)}^{2} - 12 \geq - 4 \cdot 3 - 9$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $24$ ist größer als die rechte Seite $- 21$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$x > \frac{1}{2}$ Wahr

$x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$x > \frac{1}{2}$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{3}{2}$ oder $x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - \frac{3}{2} or x \geq \frac{1}{2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{3}{2}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 14