Algebra Beispiele

$x^{2} + (y - {(\frac{3}{x})}^{2}) \cdot 2 = 1$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y - \frac{18}{x^{2}} = 1 - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Addiere $\frac{18}{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{18}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1 - x^{2} + \frac{18}{x^{2}}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1 - x^{2} + \frac{18}{x^{2}}$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{18}{x^{2}}}{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{18}{x^{2}}}{2}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{18}{x^{2}}}{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\frac{18}{x^{2}}}{2}$

Schritt 1.2.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{18}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.3.1.3

Kombinieren.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{18 \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $18 \cdot 1$ heraus.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (9 \cdot 1)}{x^{2} \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (9 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Schritt 1.2.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (9 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Schritt 1.2.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{x^{2}}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

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Schritt 6.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - x^{2}}{2} + \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - x^{2}}{2} + \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 6.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} + \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 6.1.3

Um $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 6.1.4

Um $\frac{9}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{9}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{9}{x^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{9 \cdot 2}{x^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.3

Stelle die Faktoren von $x^{2} \cdot 2$ um.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.7.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.7.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.2.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(1 - x + x + x (- x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(1 - x + x - x \cdot x) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.7.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(1 - x + x - x^{2}) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{(1 + 0 - x^{2}) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 x^{2} - x^{2} x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.7.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - (x^{2} x^{2}) + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} - x^{2 + 2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.6

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.7.7

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.1.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.8.4

Schreibe $18$ als $- 1 (- 18)$ um.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 18)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 18)$ heraus.

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.8.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.8.6.1

Schreibe $- (x^{4} - x^{2} - 18)$ als $- 1 (x^{4} - x^{2} - 18)$ um.

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.8.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.1.9

Vereinfache.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.2.4

Schreibe $18$ als $- 1 (- 18)$ um.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 18)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 18)$ heraus.

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.6.1

Schreibe $- (x^{4} - x^{2} - 18)$ als $- 1 (x^{4} - x^{2} - 18)$ um.

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere $- (x^{4} - x^{2} - 18)$ aus.

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Schritt 6.3.1

Kehre das Vorzeichen von $x^{4} - x^{2} - 18$ um.

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.4

Versetze die Klammern.

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

Schritt 6.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

Schritt 6.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

Schritt 6.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{4} + 0 + 0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

Schritt 6.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 6.9

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

Schritt 6.10

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{2}$

$0$

Schritt 6.12

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0 + 0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{2}$

$0$

Schritt 6.13

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{2}$

$0$

$18$

Schritt 6.14

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{18}{2 x^{2}}$

Schritt 6.15

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 8